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La evaluación de $\displaystyle\int\frac{x^4}{x-1} \, dx$

Esta pregunta implica la división larga.

He calculado el valor. Sin embargo, quiero preguntar dos conceptos preguntas:

1) ¿por Qué estoy haciendo la división larga en lugar de escribir el formulario de la fracción parcial de la descomposición de la función.

2) Cuando la utilización de la división larga hago una constante en la final y si no ¿por qué?

Aquí está mi configurado $\dfrac{x^4+0x^3+0x^2+0x+1}{x-1}$

6voto

Ian Miller Puntos 3708

Parcial fracciones sólo funcionará si el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. De ahí, por qué usted necesita para hacer una división larga. No se debe agregar el +1 al final en el numerador. Esto cambia el valor de la fracción.

Si te acuerdas de diferencias de cuadrados se puede hacer la división, sin división, como:

$$\frac{x^4}{x-1}=\frac{x^4-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$ $$=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$ $$=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$ $$=(x+1)(x^2+1)+\frac{1}{x-1}$$

Otra alternativa podría ser la sustitución de hacer la división más fácil. Deje $y=x-1$, por lo tanto $dy=dx$, y la integral se convierte en:

$$\int{\frac{(y+1)^2}{y}dy}=\int\frac{y^4+4y^3+6y^2+4y+1}{y}dy$$ $$=\int y^3+4y^2+6y+4+\frac{1}{y}dy$$

4voto

Michael Hardy Puntos 128804

En la integración de una función racional, la división larga o algo para lograr el mismo propósito es el primer paso. Cuando se divide el numerador $x^4$ $x-1$ usted obtiene un cociente de $x^3+x^2+x+1$ y un resto de $1$; por lo tanto $$ \frac{x^4}{x-1} = x^3 + x^2 + x + 1 + \frac 1 {x-1}. $$

Esto es igual que lo que se hace en la aritmética con números enteros. Por ejemplo, cuando se divide $215$ $19$ usted obtiene un cociente de $11$ y un resto de $6$; por lo tanto $$ \frac{215}{19} = 11 + \frac 6 {19}. $$

Donde parcial fracciones entrar es como sigue: $$ \frac{x^4}{x-1} = x^3 + x^2 + x + 1 + \underbrace{\qquad\frac 1 {x-1}\qquad}_{\begin{smallmatrix} \text{Use partial fractions} \\ \text{for this part if necessary.} \end{smallmatrix}} $$

Si el denominador es un polinomio, entonces fracciones parciales no será necesaria. Si es de mayor grado del polinomio, entonces la primera pregunta es cómo factor. Si se trata de una irreductible de segundo grado del polinomio, podrás completar el cuadrado y terminar con un arco tangente. Si es reducible de segundo grado del polinomio, entonces vaya directamente al caso más simple de fracciones parciales. Una mayor que la de segundo grado del polinomio puede siempre ser tomado en cuenta en primer y segundo grado de los factores.

-4voto

Jan Eerland Puntos 4354

SUGERENCIA:

$$\int\frac{x^4}{x-1}\space\space\text{d}x=$$ $$\int\left(x^3+x^2+x+\frac{1}{x-1}+1\right)\space\space\text{d}x=$$ $$\int x^3\space\space\text{d}x+\int x^2\space\space\text{d}x+\int x\space\space\text{d}x+\int\frac{1}{x-1}+\int 1\space\space\text{d}x=$$ $$\frac{x^4}{4}+\int x^2\space\space\text{d}x+\int x\space\space\text{d}x+\int\frac{1}{x-1}+\int 1\space\space\text{d}x=$$ $$\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\int x\space\space\text{d}x+\int\frac{1}{x-1}+\int 1\space\space\text{d}x=$$ $$\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\int x\space\space\text{d}x+\int\frac{1}{x-1}+x$$

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