¿Cómo es diferente de lo $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}$?

Question

Me estoy tomando un curso en Análisis Complejo, y el maestro se menciona que si no restringimos nuestra atención a las funciones analíticas, que acaba de estar buscando en funciones a partir de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$.

Lo que yo no entiendo es por qué esto no es cierto cuando hacemos restringir nuestra atención a las funciones analíticas. Entiendo que el complejo de funciones analíticas que tienen propiedades diferentes de funciones reales en $\mathbb{R}^2$, pero no entiendo por qué esto es así. Si miro a un número complejo a $z$ como un vector en $\mathbb{R}^2$, entonces no es la diferenciabilidad de $w=f(z)$ en $\mathbb{C}$ se define de la misma manera como la diferenciabilidad de $(u,v)=F(x,y)$ en $\mathbb{R}^2$?

Answer 1

Para bajar un nivel de la diferenciabilidad: la raíz de la diferencia entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$ proviene de la estructura multiplicativa en $\mathbb{C}$. Mira la definición de la diferenciación de sí mismo: $\lim_{h\rightarrow 0} h^{-1}\cdot \left(f(z+h)-f(z)\right)$ - hay una multiplicación de aquí, por el inverso multiplicativo de la (compleja) número $h$, que simplemente no puede ser realizado en $\mathbb{R}^2$ sin darle una estructura de campo. No hay 'un' derivada de una función a partir de $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$, sólo dos parciales; la estructura multiplicativa de $\mathbb{C}$ es entonces lo que obliga a la de Cauchy-Riemann restricciones en esas derivadas parciales y permite una definición de la derivada como una función única de $\mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}$.

Answer 2

Para una función $f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ "diferenciable" en un punto $x \in \mathbb R^2$ significa que usted tiene una aproximación lineal $f'_x$ que satisface

$$\lim_{y \a x} \frac{f(x)-f(y)-f'_x(x-y)}{|x-y|} = 0$$

Diciendo que $f$ es complejo analítica es la restricción de que $f'_x$ es una compleja función lineal para todo $x$. "Complejo lineal" significa que no sólo es cierto que $f'_x(av+bw)=af'_x(v)+bf'_x(w)$ $a, b \in \mathbb R$, pero también se aplica a $a,b \in \mathbb C$.

Una manera de decir $L$ es "Complejo lineal" es que $L$ es regular (real lineal) función más $L(iv)=iL(v)$ para todos los vectores $v$. Establecido en los términos de la derivada, la derivada direccional de $f$ en la dirección $(0,1)$ es $i$ veces la derivada direccional en la dirección $(1,0)$. En el componente de notación estos son los "de Cauchy-Riemann" ecuaciones.

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial x}$$

donde si se escribe $f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ se traduce en

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$

La fórmula:

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial x}$$

da la clave de la imagen. Un complejo lineal mapa significa que el mapa se ve como el compuesto de una rotación junto con un re-escalado de mapa $v \longmapsto av$ donde $a \in \mathbb R$. Estos mapas son llamados "conformación". Las cosas buenas acerca de conformación lineal mapas se conservan todos los ángulos, no siempre preservar la longitud. Así que la "agradable" cosa acerca de la compleja diferenciable de los mapas es que si usted tiene cualquier colección de curvas en el plano, y de aplicar su compleja función derivable para ellos, conserva los ángulos de intersección de las curvas de su cuerpo. Es una propiedad muy especial.

edit: Un ejemplo muy instructivo sería pensar a través de dos funciones diferentes de $\mathbb R^2$ $\mathbb R^2$. La primera función:

$$(x,y) \longmapsto x(\cos(y),\sin(y))$$

y la segunda función

$$(x,y) \longmapsto e^x(\cos(y),\sin(y))$$

La primera función conserva los ángulos entre las coordenadas de las líneas de la cuadrícula -- curvas como $x=a$ y $y=b$ en el plano de coordenadas. La primera función no es complejo diferenciable, pero la segunda está! Así que esto significa que la segunda función conserva todos los ángulos (no sólo el de coordinar las líneas de $x=a, y=b$). Puede detectar curvas en el dominio que se cruzan en ángulo $\theta$, pero cuando después de componer con la 1ª función, su ángulo de intersección no es $\theta$?

Answer 3

Funciones analíticas mapa pequeños discos para pequeños discos. (Por supuesto que no es riguroso, pero se podría hacer de manera rigurosa por poner en el derecho de limitar la lengua). Funciones analíticas pueden cambiar, estiramiento y rotación de los discos, pero no pueden voltear los discos de más.

Suave funciones de dos variables reales pueden mapa discos de los puntos suspensivos. Es decir, se puede estirar un disco más en una dirección que en otra. Complejo de funciones analíticas que no puede hacer eso.

El complejo de la conjugación no es analítica porque se despliega discos de más.