Deje $\pi$ ser un grupo y vamos a $K(\pi, 1)$ ser conectado a un CW complejo tal que $\pi_1(K(\pi, 1)) = \pi$$\pi_q(K(\pi, 1)) = 0$$q \neq 1$. ¿Existe un isomorfismo entre el$H_*(K(\pi, 1); A)$$\text{Tor}_*^{\mathbb{Z}[\pi]}(A, \mathbb{Z})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Adam Malter
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Como Justin Young comentó, hay muchas maneras diferentes de probar esto (y que es más comprensible para usted dependerá de sus antecedentes); aquí está uno. Escribir $T_n(A)=H_n(K(\pi,1),A)$; a continuación, $T_n$ es un functor de la categoría de $\mathbb{Z}[\pi]$-a los módulos de la categoría de abelian grupos. Por otra parte, estos functors juntos canónicamente tiene la estructura de un (homológica) $\delta$-functor, lo que significa que, dado cualquier corto de la secuencia exacta $0\to A\to B\to C\to 0$ $\mathbb{Z}[\pi]$- módulos, existen mapas de $\delta_n:T_n(C)\to T_{n-1}(A)$ que dar una larga secuencia exacta $$\dots\to T_n(A)\to T_n(B)\to T_n(C)\to T_{n-1}(A)\to\dots\to T_1(C)\to T_0(A)\to T_0(B)\to T_0(C)\to 0.$$
Por un teorema de Grothendieck, un $\delta$-functor es naturalmente isomorfo a la deriva functors de la functor $T_0$ fib para cada una de las $n>0$, el functor $T_n$ es coeffaceable, lo que significa que para cualquier $\mathbb{Z}[\pi]$-módulo de $A$, existe un $\mathbb{Z}[\pi]$-módulo de $P$ y un epimorphism $P\to A$ de manera tal que la inducida por el mapa de $T_n(P)\to T_n(A)$ $0$.
Yo ahora dicen que los functors $T_n$ son de hecho coeffaceable. De hecho, para cualquier $\mathbb{Z}[\pi]$-módulo de $A$, vamos a $P$ libre $\mathbb{Z}[\pi]$-módulo con un epimorphism $P\to A$. A continuación, $T_n(P)=0$ todos los $n>0$: se puede calcular el $T_n(P)=H_n(K(\pi,1),P)$ como la homología de la cadena compleja $C_*(E)\otimes_{\mathbb{Z}[\pi]} P$ donde $E$ es la cobertura universal de $K(\pi,1)$. Desde $P$ es gratuita a través de $\mathbb{Z}[\pi]$, este complejo de cadena es sólo una suma directa de copias de $C_*(E)$. Pero, por definición, de $K(\pi,1)$, el espacio de $E$ es contráctiles, por lo que la homología de $C_*(E)$ se desvanece en el grado $>0$. Por lo tanto $T_n(P)=0$$n>0$, y de ello se sigue que $T_n$ es coeffaceable.
Por último, tomamos nota de que el functor $T_0(A)=H_0(K(\pi,1),A)$ es naturalmente isomorfo el functor $A\otimes_{\mathbb{Z}[\pi]}\mathbb{Z}$; esto es fácil de demostrar, por lo que es la computación (este se utiliza sólo el hecho de que $K(\pi,1)$ es un camino conectado espacio con grupo fundamental de la $\pi$). Ya hemos demostrado que los functors $T_n$ son naturalmente isomorfos a la deriva functors de $T_0$, llegamos a la conclusión de que ellos también son naturalmente isomorfos a la deriva functors de $A\mapsto A\otimes_{\mathbb{Z}[\pi]}\mathbb{Z}$, es decir, los functors $\operatorname{Tor}_*^{\mathbb{Z}[\pi]}(A,\mathbb{Z})$.
