Decir que tengo dos variables independientes $X$ $Y$ que son exponencialmente distribuida con tasas respectivas de $\lambda_X$$\lambda_Y$. ¿Cómo puedo calcular $\mathbb{E}[X\mid \min\{X,Y\}]$?
Respuesta
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(Respondiendo a una consulta formulada en los comentarios.)
Recordemos que, para cada variable aleatoria integrable $X$, $E(X\mid Z)$ se define como la casi seguramente la única variable aleatoria $u(Z)$ tal que $E(Xv(Z))=E(u(Z)v(Z))$ por cada acotado medible función de $v$.
En palabras, $E(X\mid Z)$ es al mismo tiempo medible con respecto a $Z$ y similar a $X$ que $E(X\mid Z)$ $X$ dar la misma expectativa cuando se integra en contra de cualquier función de $Z$.
En el presente caso, $Z=\min\{X,Y\}$ por lo tanto se necesita la distribución de $Z$ a calcular $E(u(Z)v(Z))$. Luego, la tarea es calcular los $E(Xv(Z))$. Y, finalmente, uno debe equiparar estos, es decir, encontrar la única $u$ de manera tal que éstos coinciden para todos los $v$...
El resultado final es $$ E(X\mid\min\{X,Y\})=\min\{X,Y\}+\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,\frac1{\lambda}, $$ que tiene algunas buenas interpretaciones en términos de los procesos de Poisson o de otras nociones similares.
