Demostrar $\prod_1^\infty (1+p_n)$ converge

Question

Deje $p_{2n-1} = \frac{-1}{\sqrt{n}}$, e $p_{2n} = \frac{1}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}$.

Demostrar $\prod_1^\infty (1+p_n)$ converge.

Mediante simulaciones numéricas, que parece converger (para algo en torno a $0.759$). Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto. Sé que podemos omitir el primer término ya que es $0$. Entonces se puede escribir en la forma siguiente.

\begin{align*} \prod_1^\infty (1+p_n) &= \prod_1^\infty \left(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{\sqrt{2n}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right) \\ &= \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)... \end{align*} Los pensamientos?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\prod\limits_{k=2}^{2n}(1+p_k) = \prod\limits_{k=2}^{n}(1+p_{2k-1})(1+p_{2k}) = \prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right)\left(1+\dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right) = \prod\limits_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k\sqrt{k}}\right)$$

También se sabe que para cualquier secuencia $\{a_k\}$ tal que $\forall k \geqslant 2: 0 \leqslant a_k < 1$:

$$\prod\limits_{k=2}^{n} \left(1- a_k\right) \leqslant e^{-\sum\limits_{k=2}^n a_k}$$

La desigualdad anterior es cierto, porque la $1 -x \leqslant e^{x}$$0 \leqslant x < 1$.

Por lo tanto, para $a_k = \dfrac{1}{k\sqrt{k}}$:

$$\prod\limits_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k\sqrt{k}}\right) \leqslant \exp\left(-\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k\sqrt{k}}\right)$$

Por lo tanto, para terminar la prueba es suficiente para que tenga en cuenta que $\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k\sqrt{k}}$ converge.

Answer 2

No estoy 100% seguro de si esto puede ser de manera rigurosa, pero tal vez pueda tomar como punto de partida.

\begin{align*}\log \Pi(1+p_n)= \sum \log((1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{\sqrt{2n}})(1-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}))\\\approx\sum \log((1+\frac{1}{\sqrt{2n}})(1-\frac{1}{\sqrt{2n}}))\approx\sum \log(1-\frac{1}{2n})\approx \sum -\frac{1}{2n} \rightarrow \infty\end{align*}

el uso de $\log(1+\frac{1}{n})\approx \frac{1}{n}$

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En realidad no parece ser una cancelación que hace, así que no se puede descuidar $1/2n$ la manera en que lo hice. $(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{\sqrt{2n}})(1-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}) =1+(\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}})+(\frac{1}{2n}-\frac{1}{\sqrt{(2n)(2n+1)}})-\frac{1}{2n\sqrt{2n+1}}$ y asintóticamente el primero se agrupan los términos se $\approx \frac{1}{2(2n)^{3/2}}$ ... en definitiva, el producto converge.