Voy a resolver primero para el caso de $\mathbb{R}^1$. A continuación, voy a usar esa intuición para resolver general.
Escriba su función objetivo como $f(x)$. Es real valorados, y es suave todo el mundo, sino $a=x$$x=b$. Voy a utilizar la notación que $\hat{x}$ es un minimizer.
Si $a=b$, entonces la solución es trivial $\hat{x}=a=b$. Así que supongamos $a \ne b$. También voy a suponer que $w_1 >0$$w_2 > 0$; de lo contrario, la solución es nuevo trivial.
En este sencillo caso, la función objetivo es simplemente
$$
f(x)=w_1|x-a|+ w_2\sqrt{(b-x)^2}
$$
Esta función es minimizado mediante el establecimiento $\hat{x}=a$ si $w_1 \ge w_2$ $\hat{x}=b$ lo contrario. (Si $w_2=w_1$, ninguna de las $x$ $a$ $b$ es un minimizer.)
Ahora voy a tratar de extender esta solución a $\mathbb{R}^n$.
El objetivo de la función de $f(x)$ es continuo, y en cualquier delimitada $X \subset \mathbb{R}^n$ que contiene $a$ $b$ es compacto. Por lo $f(x)$ alcanza un mínimo en $X$. Sabemos que el minimizer $\hat{x}$ va a satisfacer
$$
f(\hat{x}) \le min\{f(a),f(b) \}= min \{w_1 \paralelo a - b \parallel_1,w_2\paralelo a - b \parallel_2 \}
$$
Escribir $I_i=[min\{a_i,b_i\} , max\{a_i,b_i\}]$. Observe que $\hat{x}_i \in I_i$ porque de lo contrario la función objetivo podría ser hecho menor moviendo $\hat{x}_i$ en ese intervalo cerrado. Ahora pon $X=I_1 \times \cdots \times I_n$. A partir de ahora, vamos a restringir $f(.)$ a de este pacto de dominio. Deje $U \subset \mathbb{R}^n$ ser un conjunto abierto que contiene a $X$. Observe además que la $f(x)$ es suave todo el mundo en $U$, excepto en $x_i = a_i$ o $x = b$. Por lo $f(.)$ es suave, incluso en el límite de $X$, excepto en aquellos valores.
La condición necesaria de primer orden con respecto a a $x_i$ es
$$
\begin{array}{c}
\partial f / \partial x_i = \pm w_1 - w_2 \dfrac{b_i - \hat{x}_i}{\parallel b-\hat{x} \parallel_2}= 0 \\
\pm w_1 = w_2 \dfrac{b_i - \hat{x}_i}{\parallel b- \hat{x} \parallel_2}.
\end{array}
$$
desde $w_1 > 0$$w_2 > 0$, ninguno de los $\hat{x}_i=b_i$ si $\hat{x}=b$. Sumando los cuadrados, obtenemos:
$$
n w_1^2 = w_2^2 \sum_i \dfrac{(b_i - \hat{x}_i)^2}{\paralelo b-\hat{x} \parallel_2^2} \\
n w_1^2=w_2^2
$$
que no puede ser cierto en general, ya que $w_1$ $w_2$ son arbitrarias. Si esto fuera cierto, entonces cualquier $\hat{x}$ en el interior de $X$ sería un minimizer.
Hemos demostrado que $\hat{x_i}=a_i$ algunos $i$ o $\hat{x}=b$, excepto para el caso especial cuando $nw_1^2=w_2^2$.
Si $\hat{x}_i=a_i$, luego alejarse de $a_i$ no debe disminuir la función objetivo. Por lo tanto:
$$
w_1^2 \ge w_2^2 \dfrac{(b_i-a_i)^2}{\paralelo b-\hat{x} \paralelo^2_2},
$$
con la igualdad de los índices para que $\hat{x}_j \ne a_j$. El cuadrado y sumando de nuevo, obtenemos:
$$
nw_1^2 \ge w_2^2
$$
Por lo tanto, si $w_1$ es lo suficientemente grande, entonces hay algo de $x_i=a_i$. Esta es la generalización de la condición de $w_1 \ge w_2$ para el caso de que $n=1$.
Podemos decir más. Vamos
$$
\begin{array}{c}
m_i=\dfrac{(b_i-a_i)^2}{\parallel b- a \parallel_2^2} \\
\end{array}
$$
y aviso que
$$
\begin{array}{c}
m_i < \dfrac{(b_i-a_i)^2}{\parallel b - \hat{x} \parallel_2^2} \\
\end{array}
$$
para cualquier $\hat{x} \ne a$. A continuación, escriba $m = min \{m_1, ..., m_n\}$$M=max \{m_1, ..., m_n\}$. Si $m_i \le m_k$$\hat{x}_k =a_k$, entonces sabemos que $\hat{x}_i=a_i$. Así que si $w_1 \ge M w_2$$\hat{x}=a$. Y si $w_1 < m w_2$, $\hat{x}_i \ne a_i$ cualquier $i$.
Si $w_1 < m w_2$, entonces la fórmula de los mínimos cuadrados da $\hat{x}$. Deje $y=sign(a_i-b_i)w_1/w_2$. Entonces
$$
\hat{x} = b(b^Tb)^{-1}b^Ty
$$
Por último, si $\hat{x}=b$, alejándose de cualquier $b_i$ no debe disminuir la función objetivo. Sólo necesitamos considerar $x_i=a_i$. Ahora no podemos utilizar el primer orden de condición. Por lo tanto
$$
w_1^2 \le w_2^2 (b_i-a_i)^2
$$
para cada $i$. Sumar de nuevo, podemos ver:
$$
nw_1^2 \le w_2^2 \paralelo b-a \parallel_2^2
$$
Así que para los de bajo pena de $w_1$, ponemos a $\hat{x} = b$
