No reflexiva de la función de los espacios

Question

Dado: Vamos a $S$ ser un conjunto infinito, y deje $\lbrace s_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de puntos distintos en $S$. Deje $X$ ser un espacio de Banach delimitadas las funciones en $S$, suministrado con el supremum de norma. Supongamos que, para todas las opciones de $s_{1}^{'}, \cdots , s_{k}^{'}$ de un número finito de diferentes elementos de $\{ s_n : n = 0, 1, 2, \cdots \}$, and for all choices $\alpha_1, \cdots , \alpha_k$ of scalars such that $|\alpha_i| = 1$$(1 \leq i \leq k)$, existe un elemento $f$ $X$ tal que $||f||_{\infty} \leq 1$$f(s_{i}^{'}) = \alpha_i (1 \leq i \leq k)$.

Necesito un poco de ayuda con las siguientes preguntas;

• Si $x = (x_1, x_2, \cdots) \in \ell^{1}$, a continuación muestran que la $\phi_x (f):= \sum_{n=1}^{\infty} x_n f(s_n)$ es un delimitada lineal funcional en $X$.
• Muestran que el mapa de $x \rightarrow \phi_x$ es un isométrico de la incrustación de $\ell^{1}$ a $X^{'}$.
• Mostrar que $X$ no es reflexiva.
• Mostrar que $C[a, b]$ no es reflexiva $(a < b)$.

Answer 1

Puedo responder a la primera de dos puntos para usted como una sugerencia, yo le voy a dar una dirección para el tercer punto.

La linealidad de la $\phi_x$ y del mapa de $x\to\phi_x$ ambos siguen directamente a partir de sus definiciones. Para acotamiento de $\phi_x$: $$\|\phi_x(f)\|\le|\sum_n x_n|\cdot\|f\|\le\sum_n |x_n|\cdot\|f\|=\|x\|_1\cdot\|f\|$$ a través de la desigualdad de triángulo. Tenga en cuenta que esto implica $\|\phi_x\|\le\|x\|_1$. Así que solo tenemos que mostrar $\|\phi_x\|\ge\|x\|_1$.

Podemos utilizar el supuestamente existentes en función de su pregunta; para cada una de las $k$ elegimos $s'_i=s_i$$\alpha_i=1/\text{sgn}(x_i)$, obtener un $f_k\in X$ tal como usted la describe y observar:

$\sum_{i=1}^k x_i f_k(s_i)=\sum_{i=1}^k x_i\alpha_i=\sum_{i=1}^k|x_i|$.

Esta expresión va a$\|x\|_1$$k\to\infty$, y el conjunto de $\{|\sum_{i=1}^k x_i f_k(s_i)|:k\in\mathbb{N}\}$ es un subconjunto de a $\{|\sum_{i=1}^\infty x_i f(s_i)|:\|f\|\le1\}$, por lo que la otra desigualdad de la siguiente manera.

Para el tercer punto, si denotamos $x\mapsto\phi_x$$\Phi$, podemos usar ese $X$ reflexiva $\iff$ $X'$ reflexivo, y que si $\Phi(\ell^1)$ es un cerrado subespacio de $X'$, y no reflexiva, a continuación, $X'$ no es reflexiva.