¿Desea $p=mc$ ¿esperar para los fotones?

Question

Sabía que $E=hf$ , $p=hf/c=h/ \lambda $ entonces si $p=mc$ donde $m$ es la masa (relativista), entonces $E=mc^2$ sigue directamente como un hecho algebraico. ¿Es este el caso?

Answer 1

Como sabrán, los fotones no tienen masa.

Relacionando el impulso relativista y la energía relativista, obtenemos:

$E^2 = p^2c^2+(mc^2)^2$ .

donde $E$ es la energía, $p$ es el impulso, $m$ es la masa y $c$ es la velocidad de la luz.

Como la masa es cero, $E=pc$ .

Ahora, sabemos que $E=hf$ . Entonces obtenemos el impulso para el fotón.

Obsérvese que existe un término llamado masa inercial efectiva. El fotón la tiene.

Answer 2

Si empezamos con $E^2=(cp)^2+(c^2m)^2$ como una ecuación relativista correcta, en unidades de energía (al cuadrado) entonces podemos tratar de extraer $v$ de ella, en lugar de tratar de poner $v$ en otras ecuaciones y esperar que todo funcione.

Así que dividamos todo por $E^2$ tenemos $1=(cp/E)^2+(c^2m/E)^2$ lo cual también es correcto. Y ya que normalmente no nos preocupamos por $E=0$ la división por $E$ normalmente no es mucho de lo que preocuparse. Pero ahora todo es adimensional, si queremos obtener un buen resultado sobre las velocidades podemos multiplicar por $c^2$ para conseguir:

$c^2=(c^2p/E)^2+(c^3m/E)^2$ o

$(c^2p/E)^2=c^2-(c^3m/E)^2$ .

Ahora la cosa de la izquierda tiene unidades de velocidad (al cuadrado), y es algo menos que $c^2$ en magnitud. Eso no es una coincidencia porque en realidad es la velocidad[1]. $v=c^2p/E$ (en el espacio 2d o 3d ponga las flechas de vectores sobre $v$ y $p$ en todas partes, así que $ \vec {v}=c^2 \vec {p}/E$ ) es una ecuación totalmente correcta para la velocidad en términos de $p$ y $E$ sólo usa:

$ \vec {v}=c^2 \vec {p}/E$ .

Si en lugar de eso quieres usar $E$ y $m$ (en lugar de $E$ y $ \vec {p}$ ), entonces lo hemos hecho:

$v^2=c^2-(c^3m/E)^2$ . (Nota, sólo se obtiene $v$ no $ \vec {v}$ porque $E$ y $m$ son escalares, no se puede obtener una dirección).

Ahora, tal vez desde la Física Newtoniana estás acostumbrado a expresar $v$ en términos de $ \vec {p}$ y $m$ esto también se puede hacer. Recordemos nuestro punto de partida $E^2=(c \vec {p})^2+(c^2m)^2$ así que $E= \sqrt {(c \vec {p})^2+(c^2m)^2}$ . Entonces toma nuestra ecuación correcta para $ \vec {v}$ en términos de $ \vec {p}$ y $E$

$ \vec {v}=c^2 \vec {p}/E$

y poner esa expresión para $E$ para conseguir:

$ \vec {v}= \frac {c^2 \vec {p}}{ \sqrt {(c \vec {p})^2+(c^2m)^2}}$ .

Así que en resumen, expresamos $v$ en términos de (dos de) $E$ , $m$ y $ \vec {p}$ .

Para $E$ y $m$ tenemos $v^2=c^2-(c^3m/E)^2$ .

Para $E$ y $ \vec {p}$ tenemos $ \vec {v}=c^2 \vec {p}/E$ .

Para $m$ y $ \vec {p}$ tenemos $ \vec {v}= \frac {c^2 \vec {p}}{ \sqrt {(c \vec {p})^2+(c^2m)^2}}$ .

No hay límites, no hay nada malo, no hay infinitos, no hay división por cero, y no hay excepciones.

Algunas personas prefieren trabajar con $ \vec { \beta }= \vec {v}/c$ en lugar de $ \vec {v}$ y, de hecho, las ecuaciones se ven mejor de esa manera.

Para $E$ y $m$ tenemos $ \beta ^2=1-(c^2m/E)^2$ .

Para $E$ y $ \vec {p}$ tenemos $ \vec { \beta }=c \vec {p}/E$ .

Para $m$ y $ \vec {p}$ tenemos $ \vec { \beta }= \frac {c \vec {p}}{ \sqrt {(c \vec {p})^2+(c^2m)^2}}$ .

1] Si todo esto parece increíble, noten que la línea mundial de una partícula tiene una unidad (en la geometría de Minkowski) tangente. Para una partícula sin masa se mueven en c, y todas las ecuaciones funcionan. Para partículas masivas, si se escala esa unidad tangente por la masa en reposo, ese vector del espacio tiempo es el vector real del espacio tiempo de energía-momento $(E,c \vec {p})$ así que la línea de la tangente en realidad va $E$ unidades a tiempo para cada $pc$ unidades en el espacio, dividimos por $E$ para ver lo que sucede en el tiempo unitario, así que en el tiempo unitario va $pc/E$ unidades en el espacio. El factor de $c$ es literalmente sólo para obtener esta proporción en unidades de velocidad.

editar La ecuación del medio $ \vec {v}=c^2 \vec {p}/E$ es la más simple, y de hecho si resuelves para $ \vec {p}$ tienes $ \vec {p}=( \frac {E}{c^2}) \vec {v}$ . Y sí, las viejas ecuaciones a veces pueden funcionar reemplazando $m$ con $ \frac {E}{c^2}$ pero desde que $ \frac {E}{c^2}$ no es constante ( $E$ cambia cuando $p$ cambios) no todas las ecuaciones antiguas son equivalentes. Por ejemplo, en la física newtoniana podrías tener razón $F=mdv/dt$ o $F=d(mv)/dt$ Sin embargo, si reemplazaste $m$ con $ \frac {E}{c^2}$ en esas dos ecuaciones obtendrías dos ecuaciones diferentes. Así que no hay un simple libro de cocina para pasar de una arbitraria ecuación newtoniana a una correcta ecuación relativista. Sólo tienes que aprender las ecuaciones relativistas correctas.

Answer 3

Aquí hay otra manera de pensarlo (personalmente, creo que esto aborda la cuestión más directamente):

$E = hf$ y $p = \frac {hf}{c}$ ambos se aplican a los fotones. Lo que esos consiguen es simplemente que $E = pc$ así que se puede concluir que $E = pc$ debería ser válido para los fotones. Y lo es.

Ahora, tu pregunta está redactada para preguntar si puedes empezar con $p = mc$ y enchufar $E = pc$ para conseguir $E = mc^2$ . Pero creo que lo que realmente quieres saber es, ¿puedes empezar con $E = mc^2$ y utilizarlo con $E = pc$ para derivar $p = mc$ ?

La respuesta es, por supuesto, no. $E = mc^2$ no se aplica a los fotones. De hecho, no hay ningún caso en el que $E = mc^2$ y $E = pc$ ambos se aplican al mismo objeto. Así que nunca puedes combinarlas válidamente. El primero es para los objetos en reposo, para los cuales $p = 0$ y el último es para los objetos sin masa, para los cuales $m = 0$ y que siempre se mueven a la velocidad de la luz. Como otros han demostrado, ambos son casos especiales de $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$ .

Por cierto, no puedo pensar en un solo sistema físico para el cual $p = mc$ es satisfechos.

Answer 4

Como una elaboración adicional, veamos esto desde el ángulo del momento relativista.

Recordemos que el impulso, en la mecánica relativista, es no una función lineal de la velocidad como lo es en la mecánica newtoniana donde $p = mv$ . En la mecánica relativista:

$p = \gamma m v$

$m$ es la masa invariable

$ \gamma = \dfrac {1}{ \sqrt {1 - \dfrac {v^2}{c^2}}}$

Claramente, para un no-cero $m$ , $p \rightarrow \infty $ como $v \rightarrow c$

Ahora, por favor tenga en cuenta que $p$ en la relación de energía relativista no es sólo $mv$ sino que es el impulso relativista $ \gamma m v$ :

$E^2 = ( \gamma m v c)^2 + (mc^2)^2$

De esto se desprende claramente que la energía relativista es:

$E = \gamma m c^2$

Así que, si arreglamos $E$ y dejar $m \rightarrow 0$ encontramos que $v \rightarrow c$ en el límite.