Demostrar que $\limsup_{n\to\infty} |X_n|/n \le1 $ casi seguramente

Question

Supongamos $\{X_n\}$ una secuencia de variables aleatorias. Si $\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>n)< \infty$

Demostrar que $$\limsup_{n\to\infty}\frac{ |X_n|}{n} \le1 $$, casi con toda seguridad

Lo que he hecho hasta ahora:

Yo pensaba que el uso de la Borel-Cantelli lema podría conducir mí en alguna parte, pero no tuve suerte.

De Borel-Cantelli lema sabemos que si $\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>n)< \infty$ $P(|X_n|>n)=0$

¿Cómo puedo proceder? Agradecería cualquier ayuda, consejo. Muchas gracias a todos de antemano por su tiempo y preocupación.

Answer 1

La primera Borel-Cantelli lema de los rendimientos $$\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}|X_n|>n\right)=0. $$ Como para cada uno de $n$ $$\{|X_n|>n\}\subset \bigcup_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\}, $$ de ello se sigue que \begin{align} 0&=\mathbb P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\}\right) \\&=\mathbb P\left(\lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\} \right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\mathbb P\left(\bigcup_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\} \right)\\ &\geqslant\lim_{n\to\infty}\mathbb P(|X_n|>n) \end{align} y, por tanto,$\lim_{n\to\infty}\mathbb P(|X_n|>n)=0$. Además, $$\bigcap_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\}\subset\{|X_n|>n\} $$ así que \begin{align} \mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty} |X_n|\leqslant n\right) &= \mathbb P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty\{|X_k|\leqslant k\}\right)\\ &=1 - \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty \{|X_k|>k\} \right)\\ &=1 - \mathbb P\left(\lim_{n\to\infty} \bigcap_{k=n}^\infty\{|X_k|>k\} \right)\\ &=1 - \lim_{n\to\infty}\mathbb P\left(\bigcap_{k=n}^\infty\{|X_k|>k\}\right)\\ &\geqslant1 - \lim_{n\to\infty}\mathbb P(|X_n|>n)\\ &= 1, \end{align} lo que implica que $$\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{|X_n|}n\leqslant 1 \right)=1. $$

Answer 2

Por Borel Cantelli lema tenemos que $$ P( \liminf_{n \to \infty} \{ |X_n| \leq n \}) = P( \{|X_n| \leq n \text{ eventually } \} )= 1$$ En palabras, esto significa que casi seguramente, la secuencia de $|X_n|$ está por debajo de $n$ todos los $n$ sufficently grande. Creo que se puede tomar desde aquí.

Answer 3

Importante de las desigualdades (Probabilidad w/ Martingales):

1, 2

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3. $$\liminf x_n > z \to \liminf(x_n > z)$$

4. $$\liminf x_n < z \to \limsup(x_n < z)$$

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Por BCL1, tenemos $P(\limsup (|X_n| > n)) = 0$

$$\to P(\liminf (|X_n| \le n)) = 1$$

$$\to P(\liminf (|X_n|/n \le 1)) = 1$$

$$\to P([\limsup |X_n|/n] \le 1)) = 1$$

El último paso de la siguiente manera por el contrapositivo de 2 (ver arriba)