Para tu primera pregunta: Sí, de que la representación es irreductible, mientras que la característica no es 2, en cuyo caso el conjunto de escalares por matrices todas las trazas 0 y claramente son invariantes bajo la conjugación. Para mostrar esto, se observa que la representación que se tiene una base que consta de las matrices de $$\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$$ y que cualquier subespacio invariante que contenga uno de estos también contienen los otros (ejercicio). Por último, dado que algunos arbitrario (no-cero) de la matriz de seguimiento 0, se puede demostrar que cualquier subespacio invariante contiene también contendrá uno de los vectores de la base (otro ejercicio), y entonces usted está listo.
Ahora, para la segunda pregunta. Como usted señala a sí mismo, no es una Mentira grupo. Es, sin embargo, lo que se conoce como un número finito de grupo de Lie tipo.
Esto significa que la teoría de la representación de este grupo finito está estrechamente vinculada a la teoría de la representación de la algebraicas grupo $GL_2(K)$ donde $K$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $p$. De hecho, el finito dimensionales representaciones irreducibles del grupo finito $GL_2(q)$ (ahora más de $K$) provienen de la restricción de ciertas representaciones irreducibles de $GL_2(K)$.
Para ser más específicos (y, sin embargo, al mismo tiempo, más general), vamos a $L$ ser finito dimensionales irreductible representación de $GL_n(K)$ (nota el cambio a $n$ en lugar de 2). A continuación, $L$ es la única simple subrepresentation de una cierta representación $\nabla(\lambda)$ donde $\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n)\in\mathbb{Z}^n$ con $\lambda_i \geq \lambda_{i+1}$. ($\nabla(\lambda)$ se obtiene partiendo de una 1-dimensiones de la representación $K_{\lambda}$ para el conjunto de inferior triangular matrices donde cualquier matriz $A$ hechos por el escalar $A_{1,1}^{\lambda_1}\cdots A_{n,n}^{\lambda_n}$ y la inducción de este a $GL_n(K)$). Vamos a denotar un sencillo módulo de $L(\lambda)$.
Si $\lambda$ más satisface $\lambda_i - \lambda_{i+1} < q$ luego restringir $L(\lambda)$ $GL_n(q)$da una representación irreducible, y todos finito representaciones tridimensionales de $GL_n(q)$ se obtienen de esta manera (aunque diferentes $\lambda$'s puede dar la misma representación de $GL_n(q)$.
