Desigualdad cuadrática en términos de variable $x$

Question

Encuentre los valores de $a$ para la cual la desigualdad $x^2+ax+a^2+6a<0\;\forall x \in (1,2)$

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribir la ecuación como $$x^2+ax+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+6a<0$$

Así que $$\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3a^2+24a}{4}<0$$

Ahora, ¿cómo puedo resolver después de que, Ayuda requerida, Gracias

Answer 1

$$0>4x^2+4ax+4a^2+24a=(2x+a)^2+3a^2+24a$$

Ahora $1<x<2\iff2+a<2x+a<4+a$

$\implies(2x+a)^2<$ min $\{(2+a)^2,(4+a)^2\}$

Caso $\#1:$ Si $(4+a)^2\ge(2+a)^2\iff a\ge-3,(2x+a)^2<(2+a)^2$

$$0>(2+a)^2+3a^2+24a=4(a^2+7a+1)$$

Necesitamos $a^2+7a+1<0$

Como las raíces de $a^2+7a+1=0$ son $\dfrac{-7\pm\sqrt{49-4}}2=\dfrac{-7\pm3\sqrt5}2$

$\implies$ o bien $a>\dfrac{-7+3\sqrt5}2$ o $a<\dfrac{-7-3\sqrt5}2$

Pero $a\ge-3$ y $\dfrac{-7-3\sqrt5}2<-3$

Caso $\#2:$ ¿Y si $(4+a)^2<(2+a)^2\iff a<-3$

Se lo dejamos a usted.

Answer 2

Estamos interesados en $f(x)=x^2+ax+a^2+6a<0\;\forall x \in (1,2)$

$$f(1)=1+a+a^2+6a \leq 0$$

Es decir $$a^2+7a+1\leq 0$$

$$ \frac{-7-\sqrt{45}}{2}\leq a \leq \frac{-7+\sqrt{45}}{2}$$

Además, queremos, $$f(2)=4+2a+a^2+6a \leq 0$$

$$a^2+8a+4 \leq 0$$

$$\frac{-8-\sqrt{48}}{2} \leq a \leq \frac{-8+\sqrt{48}}{2}$$

Por lo tanto, en general, tenemos que tomar la intersección de las dos restricciones. $$ \frac{-7-\sqrt{45}}{2}\leq a \leq \frac{-8+\sqrt{48}}{2}$$

Answer 3

Reescribe la desigualdad como $$(2a+x+6)^2< (6-x)(3x+6)$$ El lado derecho es positivo para $1<x<2$ , por lo que obtenemos $$-\sqrt{(6-x)(3x+6)}<2a+x+6<\sqrt{(6-x)(3x+6)}$$ y $$-x-6-\sqrt{(6-x)(3x+6)}<2a<-x-6+\sqrt{(6-x)(3x+6)}$$ $$\frac{-x-6-\sqrt{(6-x)(3x+6)}}{2}<a<\frac{-x-6+\sqrt{(6-x)(3x+6)}}{2}$$ El máximo del lado derecho es $-4+2 \sqrt{3}$ (Deja que $x=2$ ) y el mínimo del lado izquierdo es $-\frac{7}{2}-\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ (Deja que $x=1$ ) así que $$-\frac{7}{2}-\frac{3 \sqrt{5}}{2}<a<-4+2 \sqrt{3}$$

Answer 4

Estás en el camino correcto.

$$\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3a^2+24a}{4}<0$$

Ahora observe que $\left(x+\frac{a}{2}\right)^2$ es siempre no negativo. Por lo tanto, la desigualdad anterior se reduce a: $$\frac{3a^2+24a}{4}<0$$ $$\implies 3a^2+24a<0$$ $$\implies 3a(a+8)<0$$

Ahora bien, un producto de dos factores puede ser negativo si uno de ellos es positivo y otro negativo.

Así que, o bien $a<0$ y $a>-8$ $\implies -8<a<0$
o $a>0$ y $a<-8$ $\implies a\in (-\infty,-8)\cap(0,\infty)$

Ahora compruebe si $a=1$ . Verás que la desigualdad anterior no se cumple mientras que sí lo hace si $a=-1$ .

Por lo tanto, los valores requeridos de $a$ pertenecen al intervalo $\color{red}{-8<a<0}$ .

Answer 5

Pista:-

Si $x$ es $1$ o $2$ como se menciona en su pregunta, tenemos toda la parte cuadrada $(x+\frac{a}{2})$ es siempre $>0$ Entonces, para que todo sea menos que $0$ El $\frac{3a^2+24a}{4}$ parte debe ser $<0$