Confusión sobre el cambio de variables en las EDOs

Question

Considere el siguiente ejercicio:

Utilizando la transformada de Laplace, encontrar una solución $y(x)$ del siguiente problema de valor inicial:

$$\begin{cases} y'' +y = x + 1, \quad x > \pi \\ y(\pi) = \pi^2 \\ y'(\pi) = 2\pi \end{cases}$$

Sugerencia : Realiza el cambio de variables $t = x - \pi$ .

Por supuesto, esta ecuación es bastante fácil de resolver sin la transformada de Laplace, pero el objetivo del ejercicio es utilizarla. Pero ese no es el problema. Estoy teniendo problemas con el cambio de variables.

Sé que para las derivadas hay que utilizar la regla de la cadena; en este caso, como $dt = dx$ no hay diferencia. Mi principal problema es con las condiciones iniciales. No estoy muy seguro de cómo replantearlas en términos de $t$ Y creo que es porque no conozco una definición precisa de cambio de variables. ¿Cómo se hace? Definimos una nueva función, algo así como $g(t) = y(x-\pi)$ Si es que eso tiene sentido ¿Cuál sería un método general para asegurarse de que uno hace las cosas con cuidado?

Pido disculpas si la pregunta es algo vaga. Para que quede claro, no estoy preguntando cómo resolver esta ecuación diferencial en particular; me he dado cuenta de que me confundo en general cuando se utiliza el cambio de variables en una EDO.

Answer 1

Intenta utilizar la transformada de Laplace para resolverlo: $$\begin{cases} g'' +g = t+ \pi + 1, \quad t > 0 ,\\ g(0) = \pi^2, \\ g'(0) = 2\pi. \end{cases}$$

Como has dicho, pero no está dejando $g(t) = y(x-\pi)$ sino que está dejando que $g(t) := y(t+\pi) = y(x)$ . Básicamente la ecuación se traduce por $\pi$ en la variable independiente, por lo que cuando originalmente la condición inicial está en $x = \pi$ Ahora está en $t = x-\pi = 0$ .