Mostrar que la secuencia $a_1=1$, $a_2=2$, $a_{n+2} = (a_{n+1}+a_n)/2$ converge mostrando es de Cauchy

Question

Mostrar que la secuencia $a_1=1$, $a_2=2$, $a_{n+2} = (a_{n+1}+a_n)/2$ converge mostrando es de Cauchy.

Mi trabajo :
Necesita demostrar que para cada $\epsilon \gt 0$ existe $N$ tal que $n,m\ge N \implies | a_n - a_m| \lt\epsilon$. $$|a_n-a_m| = \dfrac{1}{2}|(a_{n-1} + a_{n-2}) - ( a_{m-1} + a_{m-2})|$$ Me siento triángulo de la desigualdad podría ser útil aquí, pero no muy seguro de cómo vincular a la $\epsilon$. Agradezco cualquier ayuda...

Answer 1

Tenga en cuenta que para $n\geq 0$, $$a_{n+2}-a_{n+1} =\frac{ (a_{n+1}+a_n)}{2}-a_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{2}.$$ Por lo tanto $$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq \frac{1}{2}|a_{n+1}-a_n|\leq \frac{1}{2^2}|a_{n}-a_{n-1}|\leq \frac{1}{2^n}|a_{2}-a_{1}|=\frac{1}{2^n}.$$ Ahora si $n>m\geq 1$, entonces, por la desigualdad de triángulo, $$|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}|+\dots+|a_{m+1}-a_{m}|\leq \frac{1}{2^{n-2}}+\dots+\frac{1}{2^{m-1}}.$$ Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Un poco ortodoxa manera de abordar este problema (ya que no tengo nada más que añadir a Robert, que tiene lugar en respuesta) para resolver la recurrencia de usar (por ejemplo) característica de polinomios, que para $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}$ es: $$2x^2-x-1=0$$ el cual tiene las siguientes raíces $x_1=1$$x_2=-\frac{1}{2}$, y la forma general $$a_n=C_1\cdot x_1^n+C_2\cdot x_2^n=C_1+C_2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$ Usando la condición inicial $a_1=1, a_2=2$ hemos $$\left\{\begin{matrix} 1=C_1-\frac{C_2}{2}\\ 2=C_1+\frac{C_2}{4} \end{de la matriz}\right.$$ conduce a $C_1=\frac{5}{3}$ $C_2=\frac{4}{3}$ o $$a_n=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$ y $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{5}{3}$$