Inspirado por esta pregunta , me interesó que la siguiente suma tuviera una forma cerrada. Buscando$k$ integer, encontré la fórmula de Dobinski de modo que la suma cuando$k$ es el número natural es$e\cdot B_k$ donde $B_k$ es el$k$ - th Bell número. Me interesa saber si la suma$$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^k}{n!}$$ has a closed form for some other values of $ k $.
Respuesta
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Estoy interesado, si se sabe si la suma de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{n^k}{n!}$ tiene una forma cerrada para algunos otros valores de k.
No, realmente no. Supongo que depende de lo que usted está dispuesto a aceptar como tal. Para valores fraccionarios, no se conocen las formas cerradas, otras de las extensiones de la Campana de los números fraccionarios índices: pero este es un trivial de observación. También, si usted está dispuesto a omitir el primer término, correspondiente a $n=0$ $k=-1$ obtendrá $-\gamma+\text{Ei}(1)$, y por otro número entero negativo de los valores de las diversas funciones hipergeométricas: pero se puede argumentar que estos son meros rewritings que en última instancia nos dicen nada acerca de la suma del valor verdadero.
