Una pregunta sobre las calculadoras (¿son$\sin^2 49^{\circ}$ y$\cos^2 49^{\circ}$ irracional?)

Question

Se $(\sin 49^{\circ})^2$ $(\cos 49^{\circ})^2$ números irracionales?

Al entrar, $(\sin 49^{\circ})^2$ en una calculadora, se muestra un número largo (y si es irracional, entonces es claro que la calculadora no puede calcular ese número hasta el último dígito. es decir, se le da un aproximado de las $(\sin 49^{\circ})^2$).

Ahora guardar un número en la memoria de la calculadora, y luego calcular el $(\cos 49^{\circ})^2$. Ahora la suma de estos números. Usted recibirá $1$.

Pero, ¿cómo sucede esto?

Estoy casi seguro de que los números de $\sin^2 49^{\circ}$ $\cos^2 49^{\circ}$ son irracionales, y no sé cómo funciona la calculadora da la exacta $1$ al agregar estos.

Answer 1

En primer lugar, la manera en que muchas calculadoras científicas trabajo es calcular más dígitos que se muestran, y luego redondear el valor antes de mostrarlo. Esto ocurre incluso si usted calcular algo como $1/7 \times 7$. La calculadora se puede creer el resultado es ligeramente inferior,$1$, pero el número es redondeado $1$. Usted puede comprobar cómo el número de dígitos de precisión de la calculadora utiliza multiplicando por $10^n$ y luego restando la parte entera. Esto a menudo revelan un poco más dígitos.

Segundo, esos son los números irracionales. Demostrando que toma algo de la teoría de números. Deje $\xi = \cos 1^\circ + i \sin 1^\circ$ $360$th raíz de la unidad. $\xi$ es conjugado a $\xi^n$ por cada $n$ coprime a$360$$\xi^{49} = \cos 49^\circ + i \sin 49^\circ$. El polinomio mínimo de a $\xi$ $\xi^{49}$ tiene el grado $\phi(360)=96$. Si $\cos^2 49^\circ$ fueron racional, a continuación, $(\xi^{49} + \xi^{-49})^2$ sería racional, que quiere decir que la $\xi^{49}$ cumple un polinomio con coeficientes racionales de grado $4 \lt 96$. Del mismo modo, $\sin^2 49^\circ = (\xi^{49} - \xi^{-49})^2/4$ no es racional.

Answer 2

La mayoría de las operaciones sobre los números irracionales puede producir racionales (o incluso enteros) si el irrationals están bien escogidos. Su ejemplo es uno de ellos, los demás son $\sqrt{2}$(-,*,/) $\sqrt{2}$. Una calculadora puede o no puede reportar el resultado como un entero-como han dicho otros, estos números (y la mayoría de los racionales, así, la irracionalidad no entran en ella) no se puede representar exactamente en el estándar de representación de coma flotante. Mantener la guardia dígitos hace a este trabajo la mayoría del tiempo, pero no siempre. No tengo mi calculadora científica de mano, pero usted podría tratar de $\cos(\theta)-1+\frac{\theta ^2}{2}$ en comparación con $\frac{\theta^4}{4!}$$\theta$$10^{-3}$$10^{-5}$. Restando casi iguales cantidades es una buena manera de perder precisión.

Answer 3

Solo obtienes 1 cuando los sumas porque la calculadora está redondeando los valores. Por cierto, estos valores son irracionales. Ver los números irracionales de Niven, por ejemplo.

Answer 4

Maple me da esto por el polinomio irreducible satisfecho por$\cos^2(49\pi/180)$ ... $$ 2 x ^ {25} - 3 x ^ {24} - 5 x ^ {23} + 5 x ^ {22} - 3 x ^ {21} - 6 x ^ {20} + 7 x ^ {19} - 9 x ^ {18} + 17 x ^ {17} - 8 x ^ {16} - 12 x ^ {15} + 2 x ^ {14} + 12 x ^ {13} + 10 x ^ {12} + 3 x ^ {11} - 5 x ^ {10} + 7 x ^ {9} + 20 x ^ {8} + 12 x ^ { 7} - 29 x ^ {6} + 12 x ^ {5} + 29 x ^ {3} + 5 x ^ {2} - 3 x - 2 $$