Número de grupos abelianos de orden$p^n$

Question

Si $p$ es primo, determinar el número de abelian grupos de orden $p^n$ por cada $1\leq n\leq8$

(Supongo que "hasta el isomorfismo" deben ser incluidos en algún lugar de la pregunta por el bien de precisión...)

Podría alguien por favor revise/confirmar mi trabajo?
n = 1: $\mathbb{Z}_p $
n = 2: $\mathbb{Z}_{p^2}$ $\mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p$
n = 3: $\mathbb{Z}_{p^3}$, $\mathbb{Z}_{p^2}\times \mathbb{Z}_p$, y $\mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p \times\mathbb{Z}_p$
n = 4: $\mathbb{Z}_{p^4}$, $\mathbb{Z}_{p^3} \times \mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Z}_{p^2}\times \mathbb{Z}_{p^2}$, $\mathbb{Z}_{p^2}\times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$, y $\mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p \times\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$

et cetera

Simplemente estoy considerando todas las opciones para cuando el mayor exponente de $p$$n$,$n-1$, y así sucesivamente. ¿Cómo se ve? Gracias!
(Al parecer, no sé cómo "el final de una cita"...)

Answer 1

Su trabajo es correcto, excepto que usted no es responder a la pregunta planteada (que te pide el número de (nonisomorphic) grupos, no para una lista de los grupos). Así, por $n=1$, la respuesta debe ser "1"; para $n=2$ la respuesta debe ser "2"; para $n=3$ la respuesta debe ser "3"; para $n=4$ la respuesta debe ser "5", etc.

La magia de las palabras que usted está buscando son "las particiones de $n$." Usted debe verificar que no es un bijection entre el isomorfismo tipos de abelian grupos de orden $p^n$ y las particiones de $n$.

Answer 2

Es igual al número de particiones de$n$. Consulte http://mathworld.wolfram.com/AbelianGroup.html