Confusión con el núcleo informático de una isogenia entre dos curvas elípticas

Question

Considere los dos curvas elípticas $$E_3: y^2+y=x^3+x^2+x \enspace [Cremona:19A3]$$ and $$E_1: y^2+y=x^3+x^2−9x−15 \enspace [Cremona:19A1]$$ Let $\varphi$ be the $3$-isogeny from $E_3$ to $E_1$. I want to prove that kernel of $\varphi$ contiene un punto sobre los racionales. He calculado que el isogeny en Magma.

Entrada:

E:=EllipticCurve("19a3"); E2:=IsogenousCurves(E)[2]; A,B:=IsIsogenous(E,E2); Una; B; Kernel (B)

Salida:

cierto Curva elíptica isogeny de: CrvEll: E a CrvEll: E2 toma (x : y : 1) a ((x^3 + 2*x + 1) / x^2 : (x^3*y - 2*x*y - x - 2*y - 1) / x^3 : 1) Subgrupo esquema de Correo definida por x

Ahora $E_3$ contiene el racional $3$-torsión puntos de $(0,0), (0,1), (0,-1)$. Desde el isogeny mapa contiene " x " en el denominador, mi confusión es donde se el por encima de 3 puntos asignados ? También, si alguien me puede ayudar a encontrar un punto racional en Ker $\varphi$, voy a estar muy agradecido.

Answer 1

Ya que la isogenia se define en coordenadas proyectivas, también puede escribirla de esta forma:$$[x:y:1] \mapsto [x(x^3+2x+1):x^3y-2xy-x-2y-1:x^3].$ $ Ahora está claro que$[0:0:1]$,$[0:1:1]$ y$[0:-1:1]$, map a$[0:1:0]$, el punto en el infinito en$E_1$. De hecho, se asignan a$[0:-1:0]=[0:-3:0]=[0:1:0]$, respectivamente, que son todos el mismo punto en coordenadas proyectivas, igual al punto en el infinito. En otras palabras, los tres puntos están en el núcleo del mapa.