Grupos de Cobordismo de Colectores Suave Cerrados

Question

Tengo una pregunta acerca de un argumento utilizado en la prueba de la roja etiquetado teorema a continuación de Un breve Curso de Topología Algebraica por P. de Mayo en la página 220. Aquí el extracto:

Escribimos $\mathcal{N}_n$ para el conjunto de cobordism clases de lisa cerró $n$-colectores donde dos clases de $[N], [M] \in \mathcal{N}_n$ son equivalentes si existe una $n+1$ colector $W$ con límite tal que $\partial W = N \coprod M$. Damos a $\mathcal{N}_*$ un ringstructure con "separe de la unión" como la suma y del producto"" $- \times -$ como la multiplicación.

Desde $∂(M × I) = M ∐M$, el anillo de $\mathcal{N}_*$ se convierte en un $\mathbb{Z}/2$-graduada de anillo.

A continuación Teorema Puede introducido explícitamente los generadores $u_n$ de $\mathcal{N}_n$ en cada uno de los grados explícitamente.

Utilizando el hecho de que el colector es un límite si y sólo si su normal Stiefel-Whitney números son iguales a cero, se deduce que los $u_{2i}= [\mathbb{RP}^{2i}]$ no son límites y por lo tanto no trivial de clases y, por tanto, generadores de $\mathcal{N}_{2i}$.

En el otro lado de los números impares $\mathbb{RP}^{2i-1}$ representar el cero de las clases, así que no puede ser generadores ya que todo Stiefel Whitney clases y por lo tanto también los números de desaparecer.

Para los números impares no de la forma $2^s-1$ Mayo sugiere tomar como generadores de $\mathcal{N}_{2i-1}$ el hyperplanes como representantes más $H_{2^{p+1}q,2^p} \subset \mathbb{RP}^{2^{p+1}q} \times \mathbb{RP}^{2^p}$ como se describe en el texto.

Mi PREGUNTA es ¿por qué estos hypersurfaces son buenas opciones? Entonces, ¿por qué la $H_{2^{p+1}q,2^p} $ no son los límites respectivamente por qué su Stiefel Whitney clases no son triviales?

Mis ideas:

Creo que la clave está en la composición de los siguientes mapas:

$$H_{2^{p+1}q,2^p} \hookrightarrow \mathbb{RP}^{2^{p+1}q} \times \mathbb{RP}^{2^p} \xrightarrow{pr_1} \mathbb{RP}^{2^{p+1}q}$$

Proporciona una declaración correspondiente sobre Stiefel Whitney clases de $H_{2^{p+1}q,2^p}$?

Answer 1

Considerar el mapa de $(BO(1))^{\times n} \to BO(n)$ clasificación de la suma de $n$ línea de paquetes. En mod 2 cohomology, este identifica $$H^* BO(n) \xrightarrow{\cong} (H^*(BO(1))^{\otimes n})^{\Sigma_n} \cong \mathbb{F}_2[t_1, \ldots, t_n]^{\Sigma_n}.$$ Let $s_n = \sum_i t_i^n$. This is a symmetric polynomial and so determines a characteristic class $s_n = s_n(w_1, \ldots, w_n)$ in $H^n BO$.

Thom resultó ser el siguiente:

Teorema. Deje $M$ ser un cerrado $n$-colector $M$ e $\nu_M$ su estable normal en paquete. A continuación, $[M] \in \mathcal{N}_n$ es indecomposable iff $\langle s_n(\nu_M), [M] \rangle = 1$.

Deje $H = H_{a,b}$ e $n = a + b - 1$. Nuestra estrategia es mostrar que $\langle s_n(\nu_H), [H] \rangle$ es distinto de cero para valores particulares de $a$ e $b$. Esto va a demostrar que $[H]$ es un generador de la cobordism anillo en la dimensión $n$. Creo que este ejemplo es debido a Milnor.

Desde $H$ es el cero locus en $\mathbb{R}P^a \times \mathbb{R}P^b$ de una forma bilineal, $\nu_H \cong i^*(\gamma_1 \otimes \gamma_2)$, donde $\gamma_1$ (resp. $\gamma_2$) es el tautológica de la línea de paquete en la $\mathbb{R}P^a$ (resp. $\mathbb{R}P^b$) y $i: H \hookrightarrow \mathbb{R}P^a \times \mathbb{R}P^b$ es la inclusión. Escribir $t_1 = w_1(\gamma_1)$ e $t_2 = w_1(\gamma_2)$. A continuación, \begin{align} \langle s_n(\nu_H), [H] \rangle &= \langle i^*(t_1 + t_2)^n, [H] \rangle \\ &= \langle (t_1 + t_2)^{n+1}, [\mathbb{R}P^a \times \mathbb{R}P^b] \rangle \\ &= \binom{n+1}{b}. \end{align}

En el caso de $a = 2^{p+1} q$, $b = 2^p$, e $n = 2^p(2q + 1) - 1$, estamos reducidos a calcular el coeficiente binomial $\binom{2^p(2q + 1)}{2^p}$. No es difícil ver que esto es extraño, por lo que estamos por hacer.