Dimensión del subespacio invariante.

Question

Deje $\Gamma \subseteq GL_{n}(\mathbb{C})$ ser finito, la matriz del grupo. Deje que este finita de la matriz del grupo de actuar en $f(x_1,...,x_n) \in \mathbb{C}[x_1,...,x_n]$ así: $$\Gamma \cdot f(x_1,...,x_n) = f(\Gamma \textbf{x})$$ where $\textbf{x}$ is to be thought of as the column vector of the variables $x_1,...,x_n$.

Definir el subespacio invariante $\mathbb{C}[x_1,...,x_n]^{\Gamma} = {\{f \in \mathbb{C}[x_1,...,x_n] : A \cdot f = f \hspace{2mm} \forall \hspace{2mm} A \in \Gamma}\}$.

Ahora, definir el Reynold del operador $R_{\Gamma} : \mathbb{C}[x_1,...,x_n] \rightarrow \mathbb{C}[x_1,...,x_n]$ : $$R_{\Gamma} (f)(\textbf{x}) = \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{A \in \Gamma} f(A \textbf{x})$$

Ahora, el número de linealmente independientes invariantes de $\Gamma$ grado $1$ está dado por $$a_1 = \frac{1}{|\Gamma|} \sum_{A \in \Gamma} trace(A)$$ But I'm not sure why this is so? I know that $R_{\Gamma}$ is projection on to $\mathbb{C}[x_1,...,x_n]$ and $im(R_{\Gamma}) = \mathbb{C}[x_1,...,x_n]^{\Gamma}$, and so this would imply that $trace(R_{\Gamma}) = dim(\mathbb{C}[x_1,...,x_n]^{\Gamma})$, pero ¿dónde puedo ir desde aquí? ¿Cuál es el rastro de este Reynold del Operador?

Ni siquiera estoy seguro de si voy en la dirección correcta aquí, porque no estoy seguro de por qué esto $dim(\mathbb{C}[x_1,...,x_n]^{\Gamma})$ atrevería a dar el número de la linealmente independientes invariantes de $\Gamma$ grado $1$. Donde el grado $1$ poco?

Answer 1

En aquellos casos que la necesidad primaria de los debates

Para cualquier representación de grupo finito $\rho : G \to GL(V)$ a inversible lineal mapas de una $\Bbb{C}$-espacio vectorial, entonces $P=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}\rho(g)$ es una proyección de $V$ sobre el $G$-fijo subespacio $V^G$ (prueba : si $v \in V$ entonces $Pv \in V^G$ e si $v \in V^G$ entonces $Pv=v$)

en alguna base $B$ tendrás $P = B \pmatrix{I_m & 0 \\ 0 & 0} B^{-1}$ donde $m = \dim V^G$ lo $trace(P) = trace( \pmatrix{I_m & 0 \\ 0 & 0}) = \dim V^G$.

Es necesario dejar en claro que están considerando la posibilidad de $V =\Bbb{C}^n$ y el correspondiente $trace$, no polinomio anillo.

Desde allí se puede construir otras representaciones en $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ el conjunto de polinomios homogéneos de grado $d$, se obtiene la representación de $\pi(g)(f(x))= f(\rho(g)x)$ se llama $\pi = Sym^d\rho$, y lo que define es el natural de infinitas dimensiones rep. $\bigoplus_d Sym^d\rho$ de $G=\Gamma$ a $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n] = \bigoplus_d \Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$.

Entonces el punto es que $V = V^G \oplus W$ donde $W = \ker(P)$ e $W$ se envía a sí mismo por la $A\in \Gamma$ por lo tanto es un subrepresentation. Esta descomposición se traduce en la obtención de los polinomios que con el lineal de los polinomios $(y_1,\ldots,y_m,z_1,\ldots,z_{n-m}) = B(x_1,\ldots,x_n)$ : $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]= \Bbb{C}[y_1,\ldots,y_m,z_1,\ldots,z_{n-m}]$ e $A.f(y_1,\ldots,y_m,z_1,\ldots,z_{n-m}) = f((y_1,\ldots,y_m,0,\ldots)+BA B^{-1} (0,\ldots,z_1,\ldots,z_{n-m}))$.

Si $G$ es un grupo finito, a continuación, $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]/\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ es de un número finito de extensión de Galois con grupo de Galois $H=G/\ker(\rho)$ lo $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G=\Bbb{C}[y_1,\ldots,y_m,f_1,\ldots,f_{n-m}]$ para algunos algebraicamente independiente polinomios $f$ (de grado $> 1$). No está seguro de cómo encontrar a $\Bbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ y su trascendental grado cuando se $H$ es infinito.