¿Es correcta?

Question

Acabo de pensamiento acerca de una pregunta de la entrevista, que fue, tal vez formuladas anteriormente, pero he pensado en mí mismo.

Considerar, $a \leq b$, $a^b \leq b^a$ correcta? Justificar.

Pensé acerca de la solución de la siguiente manera, pero no terminan con un resultado concluyente.

Vamos a considerar: $$\begin{align} a^b &\leq b^a \\ e^{\ln(a^b)} &\leq e^{\ln(b^a)} \\ \ln(a^b) &\leq \ln(b^a) \\ b\ln(a) &\leq a\ln(b) \end{align}$$ Sé que $\ln(a) \leq \ln(b)$, pero no se puede concluir a partir de ahí. ¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Aquí es un poco más sistemática manera de mirarlo. Desea comprobar si $$a \le b \implies \frac{\log a}{a} \le \frac{\log b}{b}$$ Esto sería cierto si la función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la asignación de $x \mapsto \frac{\log x}{x}$ fueron una función creciente.

Ahora, si usted sabe un poco de cálculo, se puede ver en la derivada para obtener un poco de pista. Esperamos que este sea fácil para usted para comprobar que $$f'(x) = \frac{1-\log x}{x^{2}}.$$

Ahora, la relación entre el aumento/disminución de las funciones y sus derivados es el signo de la derivada. Es también espero que fácil a ver que $$f'(x) \text{ es } \begin{cases} \text{positive } & \text{ if } x < e \\ \text{zero } & \text{ if } x = e \\ \text{negative } & \text{ if } x > e \end{casos}$$

Así, $f$ es creciente, inmóvil, y la disminución en los respectivos intervalos. Oh no! Si $f$ es decreciente, entonces nuestra propiedad deseada fallará. Así que tome algunas $e < a < b$, y usted debe obtener un contraejemplo. De hecho, $$3 \le 4 \text{ but } 3^{4} > 4^{3}$$ (onu)deseado.

Answer 2

Contra-ejemplo :

$2\le 5$ , sin embargo, $\;2^5>5^2$ .

Answer 3

Cuando busque contraejemplos, recomiendo probar los casos más simples primero.

¿Están los signos de $a, b$ restringidos de alguna manera? Si no, pruebe con $a = -1, b = 2$ .