Usando fórmulas "formales" para obtener resultados no formales

Question

Los llamados "formal" de las operaciones, como en "formal de la diferenciación", "integración formal", etc.--siempre me hizo un poco incómodo, porque parece ser que se utiliza a veces como una serpiente-petróleo de solución para tratar con problemas de convergencia, y nunca he visto a una rigurosa explicación de cuando formales resultados pueden ser traducidas a otros situaciones formales (por ejemplo, álgebras de operadores de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Me voy a dar un ejemplo a continuación de lo que quiero decir, pero primero, permítanme preguntar a mi pregunta principal:

¿Hay algún teorema que aclara cuándo exactamente formal de una fórmula puede ser aplicada en un no-formal?

He aquí un ejemplo: En Lang del libro "Real y el Análisis Funcional" (pg. 401), él quiere evaluar la suma $$S(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{v-\alpha^k r}$$ where $n\in \mathbb{N}$, $i\in\mathbb{R}$, $\alpha$ is a primitive n-th root of unity, and $v$ is an element of a Banach algebra. To evaluate this, he looks at the formal polynomial $p(t):= t^n - r^n = \prod_{k=1}^n (t-\alpha^k r)$ and takes a formal log derivative to get $\frac{nt^{n-1}}{t^n - r^n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{t-\alpha^k r}$. Then rearranging and plugging in $t=v$ you find $$S(n) = \frac{1}{v-r(r/v)^{n-1}}$$

Ahora puedo justificar esto a mí mismo diciendo que la clave de la relación $\frac{nt^{n-1}}{t^n - r^n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{t-\alpha^k r}$ puede ser reorganizado en una identidad simple equiparación de dos representaciones de un polinomio, que se aplica igualmente bien a $v$ a $t$. Y así es como estos "formal" argumentos suelen ir--, a posteriori, por lo general se puede justificar la conclusión, pero parece realmente extraño para mí que tenemos para entrar en este mundo de las tinieblas de formal polinomios para justificar las operaciones que son "ilegales" en el espacio que realmente preocupa a (en el ejemplo anterior, la diferenciación "con respecto a $v$" no está definido en el álgebra de Banach).

Por otra parte, no siempre puede ser cierto que la formal de la fórmula se puede aplicar a algo así como un álgebra de Banach. Por ejemplo, implícito en el ejemplo anterior es el hecho de que el Banach subalgebra generado por $v$ es conmutativa; si estábamos tratando de aplicar un multivariante formal de la fórmula de a dos no de desplazamientos de los elementos, parece que podría ejecutar en problemas rápidamente.

Entonces, ¿qué es una manera de caracterizar y comprender la aplicación de los resultados formales no formales de situaciones?

Answer 1

La respuesta corta es "malabares homomorphisms." Este es más un arte que una ciencia y por lo que voy a explicar Lang ejemplo, en lugar de intentar dar una discusión general.

La identidad

$$\frac{nt^{n-1}}{t^n - r^n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{t - \alpha^k r}$$

vive en algún lugar. ¿De dónde viven? Una respuesta fácil es que se vive en el campo $\mathbb{C}(t)$ de funciones racionales sobre $\mathbb{C}$. Pero lo que este campo tiene que ver con álgebras de Banach que no está claro. Una más que interesante respuesta es que vive en un sub-anillo de este campo, a saber, la localización de la $\mathbb{C}[t][(t^n - r^n)^{-1}]$ de $\mathbb{C}[t]$ donde podemos invertir $t^n - r^n$.

La importancia de aislar este anillo es que se puede aplicar una "racional funcional de cálculo": funciones racionales en este anillo, que tiene la forma de $\frac{f(t)}{(t^n - r^n)^k}$ donde $f(t)$ es un polinomio, se puede aplicar a cualquier elemento $a \in A$ cualquier $\mathbb{C}$-álgebra con la propiedad de que $a^n - r^n$ es invertible en a$A$. Cualquier $a$ define un $\mathbb{C}$-álgebra homomorphism

$$\varphi_a : \mathbb{C}[t][(t^n - r^n)^{-1}] \to A$$

que está completamente especificado por el hecho de que se envía a$t$ a $a$.

A su vez, la importancia de hacer este homomorphism explícito es que la formal de registro de derivados es totalmente rigurosamente definido operación $\mathbb{C}(t)$, cuyas propiedades pueden ser totalmente rigurosamente probado en esta configuración. Estas propiedades se pueden utilizar para demostrar identidades que pueden luego ser transportada a través de la homomorphism $\varphi_a$ a $A$, aunque las pruebas no van a través de la en $A$.

Hay ejemplos más interesantes, donde en lugar de polinomios o funciones racionales trabajamos con la alimentación de la serie, que requiere de malabarismo un poco más complicado web de homomorphisms. El punto clave es que cualquier identidad entre los dos poder formal de la serie, con un valor distinto de cero radio de convergencia, establecido por ejemplo, el uso formal de la integración y la diferenciación o cualquier otra cosa, debe ser en realidad una identidad de holomorphic funciones dentro del dominio de convergencia y, a continuación, se puede aplicar por ejemplo, holomorphic funcional de cálculo para obtener la no-formal de los resultados dentro de álgebras de Banach.

Por otra parte, no siempre puede ser cierto que la formal de la fórmula se puede aplicar a algo así como un álgebra de Banach. Por ejemplo, implícito en el ejemplo anterior es el hecho de que el Banach subalgebra generado por $v$ es conmutativa; si estábamos tratando de aplicar un multivariante formal de la fórmula de a dos no de desplazamientos de los elementos, parece que podría ejecutar en problemas rápidamente.

Sí, por lo que sólo se aplican las fórmulas para los desplazamientos de los elementos.