Series

Question

Bien, este es otro problema que se me ha atascado en. El objetivo es determinar si es convergente o divergente.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 5n}{n^3 + n + 1}$$

Así que para empezar, Integral de la Prueba parece áspero como el denominador no es factorable parcial fracción de descomposición.

Entonces, traté de Comparación Directa del Teorema, pero... $$\frac{1}{n^3} < \frac{n^2 - 5n}{n^3 + n + 1}[n > 5]$$ Aunque no para los intervalos [0, 5]. $$\frac{1}{n^3} > \frac{n^2 - 5n}{n^3 + n + 1}[0<n<5]$$ Así que sí, que es una especie de confuso. Especialmente desde que el problema comienza en n = 1 en lugar de n = 5.

Sin embargo, yo sé que, por la serie p $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} --> converges $$ Y si el menor valor converge, entonces la Comparación Directa Teorema nos dice nada.

Así que me decidí a probar el Límite de Comparación Teorema: $$b_n = \frac{1}{n^3} $$ $$\lim_{n\to0} \frac{n^2 - 5n}{n^3+n+1}*\frac{n^3}{1} = \lim_{n\to0} \frac{n^6 - 5n^4}{n^3 + n + 1} = {\infty}$$

Así que si bn es convergente por la p de la serie, pero el límite es divergente, entonces la LCT es inútil.

Por lo tanto, ahora mi pregunta es ¿de dónde me vaya mal en el intento de demostrar la convergencia/divergencia?

Answer 1

Simplemente use el hecho de que $$\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^2-5n}{n^3+n+1}}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\dfrac5n}{1+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}}=1$ $ y que la serie de armónicos diverge.

Answer 2

Diverge porque $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{n^2-5n}{n^3+n+1}}{\frac{1}{n}}=1.$ $

Answer 3

Para $n \ge 5$ , $$\frac{n^2 - 5n}{n^3 + n + 1} > \frac{(n^2 + 2n + 1) - (7n + 7) + 6}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1} > \frac{(n+1)^2 - 7(n+1)}{(n+1)^3} = \frac{1}{n+1} - \frac{7}{(n+1)^2}.$$ Since $$\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{n+1}$$ does not converge but $$\sum_{n=5}^\infty \frac{7}{(n+1)^2}$ $ es convergente, la suma original no converge.