$a_n > 0$ y$\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_n}$ converge. Demostrar que$\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{n}{a_1 + \cdots + a_n}$ es convergente.

Question

$a_n > 0$ e $\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_n}$ converge. Demostrar $\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{n}{a_1 + \cdots + a_n}$ es convergente.

Me parece que esto puede tener algo que ver con Stolz Teorema que dice que si $\{\frac{1}{a_n}\}$ es convergente entonces $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{a_1+\cdots +a_n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{a_n}$$ Puede que esto implica que $\frac{n}{a_1+\cdots +a_n}$ e $\frac{1}{a_n}$ tienen la misma disminución de la velocidad de modo que conduce a la respuesta de la pregunta.

Sin embargo, no sé cómo convertir esto en corregir la prueba.

Answer 1

Deje que $b_n = \frac{1}{a_n}$ , luego $\frac{n}{a_1 + \cdots + a_n}$ es la media armónica de $b_1,..b_n$ para que sea menor o igual que la media geométrica correspondiente.

$\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{n}{a_1 + \cdots + a_n} \leq \sum_\limits{n=1}^{+\infty} (b_1....b_n)^{\frac{1}{n}} \leq e\sum_\limits{n=1}^{+\infty} b_n=e\sum_\limits{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_n} < \infty$ por la desigualdad de Carleman