$M_n(R)/[M_n(R), M_n(R)] \cong R/[R,R]$

Question

Si $R$ es un anillo asociativo, a continuación, $[R,R]$ es el subgrupo generado por los elementos de a$[r,s]= rs-sr,$ para $r,s\in R$. Mostrar que $Trace : M_n(R)\longrightarrow R/[R,R]$ induce un isomorfismo $$ M_n(R)/[M_n(R),M_n(R)] \longrightarrow R/[R,R]$$

Lo que he probado hasta ahora es este: Tengo un mapa de $trace : M_n(R) \longrightarrow R$ la costumbre de seguimiento que se surjective A continuación, $j : R\longrightarrow R/[R,R]$ que es también surjective.

Así que tengo un surjection $Trace$ ($(j\circ trace))$ formulario $ M_n(R)\longrightarrow R/[R,R]$

Ahora tengo que demostrar que Kernel(Rastro) es mi $[M_n(R),M_n(R)] $

Desde $trace [AB-BA] \in [R,R]$ tengo una forma de contención de la cual es: $$ [M_n(R),M_n(R)] \subset Kernel(Trace)$$

Estoy teniendo problemas en la comprobación de $$Kernel(Trace)\subset [M_n(R),M_n(R)]$$

Lo que erróneamente demostrado es que para cualquier $r\in [R,R]$ existe $A,B \in M_n(R)$ tal que $trace(AB-BA) = r$. Que no me ayuda.

Así que si ustedes podrían ayudarme estaré encantado. Gracias.

Answer 1

Ver $M_n(R)$ libre a la izquierda $R$-módulo con base $(E_{ij})_{1\le i,j\le n}$. Esta traza el mapa es, obviamente, una $R$-módulo homomorphism (para todos los $n\ge 0$). Es obviamente surjective para $n\ge 1$.

Queda por probar la inyectividad ($n\ge 0$). Esto significa que uno tiene que probar que si algún elemento $M\in M_n(R)$ tiene su traza en $[R,R]$ , a continuación, pertenece a $[M_n(R),M_n(R)]$. Tenga en cuenta que este es el caso de $M=E_{ij}=[E_{ii},E_{ij}]$, y para $M=E_{ii}-E_{jj}=[E_{ij},E_{ji}]$. Esto permite reducir al caso en el $M=rE_{11}$, $r\in [R,R]$, decir $r=\sum [a_i,b_i]$: a continuación, $M$ es igual a $\sum [a_{i}E_{11},b_iE_{11}]$.