¿Cómo cambian los valores propios si cambiamos las entradas diagonales de la matriz?

Question

Supongamos $A \in M_n(\mathbb R)$ es estable. Por estable, nos referimos a los valores propios son todos los de la izquierda abierta la mitad de avión de $\mathbb C$. Ahora bien, si se disminuye el valor de $A_{11}$, que la matriz se mantienen estables?

Pensé por primera vez en términos de Gershgorin Discos. Si se disminuye la entrada de $A_{11}$, el centro de disco correspondiente se mueven hacia la izquierda del eje real. Pero luego me di cuenta de que esto no es suficiente, puesto que sólo sabemos los autovalores están contenidas en la unión de todos los discos. Sin embargo, yo no podía ver un contraejemplo.

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Alternativamente, la pregunta es una perturbación con el rango de una matriz, es decir, queremos saber si $A-t e_1e_1^T$ permanece estable por $t > 0$ donde $e_1 = (1, 0, \dots, 0)^T$.

Answer 1

Deje $A_t=A-te_1{e_1}^T$ e $\lambda_t$ ser el máximo de las partes reales de los autovalores de a$A_t$.

Por la continuidad de $\lambda_t$ wrt ${A_t}_{1,1}$, $A_t$ se mantiene estable cuando $t$ es lo suficientemente pequeño.

Sin embargo, no hay límite inferior para el admisibles de variación de $t$, como muestra el siguiente ejemplo.

Deje $\epsilon$ ser un fijo pequeño reales positivos (por ejemplo, $\epsilon<0.1$) y

$A=\begin{pmatrix}-2-\epsilon&2\\-1&1-\epsilon\end{pmatrix}$, es decir, $A_t=\begin{pmatrix}-2-\epsilon-t&2\\-1&1-\epsilon\end{pmatrix}$. Tenga en cuenta que $spectrum(A)=-\epsilon,-1-\epsilon$.

La derivada en $A$ de la mayor autovalor de a$A$ wrt $A_{1,1}$ es $\lambda '=-1$. A continuación, $\lambda_{\epsilon}\approx -\epsilon+\epsilon \approx 0$.

En particular, $A_{2\epsilon}$ no es estable.