determinante de una matriz engañosa

Question

Estoy haciendo una investigación sobre la matriz integradores y me encontré con un problema en un caso particular. Para terminar mi demostración lo último que queda es demostrar la no singularidad de una matriz específica $$M_n: (m_{ij} = \frac{1}{a_i - a_j}, 1\leq i \leq n, 1\leq j \leq n,i\neq j;m_{ii} = \frac{c}{a_i - b} + \sum\limits_{k\neq i, 1\leq k \leq n}\frac{1}{a_i - a_k}),$$ donde todos $a_i, b$ son distintos.

Para ser más claro, proporciono $$M_2 = \begin{pmatrix} \frac{c}{a_1 -b} + \frac{1}{a_1 - a_2} && \frac{1}{a_1 - a_2}\\ \frac{1}{a_2 - a_1} && \frac{c}{a_2 -b} + \frac{1}{a_2 - a_1} \end{pmatrix}$$ $$M_3 = \begin{pmatrix} \frac{c}{a_1 -b} + \frac{1}{a_1 - a_2} + \frac{1}{a_1 - a_3} && \frac{1}{a_1 - a_2} && \frac{1}{a_1 - a_3}\\ \frac{1}{a_2 - a_1} && \frac{c}{a_2 -b} + \frac{1}{a_2 - a_1} + \frac{1}{a_2 - a_3} && \frac{1}{a_2 - a_3}\\ \frac{1}{a_3 - a_1} && \frac{1}{a_3 - a_2} && \frac{c}{a_3 - b} + \frac{1}{a_3 - a_1} + \frac{1}{a_3 - a_2} \end{pmatrix}$$

Para $n \leq 7$ He calculado el $det(M_n) = \frac{c(c+1)...(c + n -1)}{\prod\limits_{1\leq i\leq n}(a_i - b)}$ pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo en un caso general.

En mi caso particular $c\in \mathbb N$ por lo que esta fórmula demostrará la no singularidad de $M_n$ .

Alguna idea y consejo para demostrar la fórmula, o incluso para demostrar la no singularidad de $M_n$ de alguna otra manera - son muy apreciados

Answer 1

La respuesta que sigue es un desarrollo de ideas a partir de los comentarios de amsmath . El paso decisivo se basa en las siguientes observaciones.

Dado un conjunto de $n$ pares de números complejos $$\{(x_1,y_2),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\}$$ tal que $$\forall\; i\ne j:\; x_i\ne x_j,$$ definir su polinomio interpolador como $$y(x)=\sum_{i}y_i\prod_{k\ne i}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}.\tag1$$

Diferenciando la expresión sobre $x$ y evaluando el resultado en $x_i$ se obtiene: $$y'_i\equiv y'(x_i)=\sum_{j\ne i}\frac1{x_i-x_j} \left[y_i-y_j\prod_{k\ne(i,j)}\frac{x_i-x_k}{x_j-x_k}\right].$$ o $$\frac{y'_i}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k} =\sum_{j\ne i}\frac1{x_i-x_j}\left[\frac{y_i}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k} +\frac{y_j}{\prod\limits_{k\ne j}x_j-x_k}\right].\tag2$$ Presentación de $f_i=\frac{y_i}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k}$ , $f'_i=\frac{y'_i}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k}$ la ecuación $(2)$ puede reescribirse en notación matricial como $$\begin{pmatrix} \sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}& \frac1{x_1-x_2}&\cdots&\frac1{x_1-x_n}\\ \frac1{x_2-x_1}& \sum\limits_{i\ne2}\frac{1}{x_2-x_i}&\cdots&\frac1{x_2-x_n}\\ \vdots& \vdots& \ddots&\vdots\\ \frac1{x_n-x_1}&\frac1{x_n-x_2}&\cdots&\sum\limits_{i\ne n}\frac{1}{x_n-x_i}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f_1\\ \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f_2\\ \vdots\\ \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f_n\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f'_1\\ \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f'_2\\ \vdots\\ \vphantom{\sum\limits_{i\ne1}\frac{1}{x_1-x_i}}f'_n\\ \end{pmatrix}.\tag3$$ o $$A f=f'.\tag4$$

Supongamos ahora una forma especial del polinomio interpolador: $$y_l(x)=(\lambda x+\beta)^l,\quad \beta,\lambda\in\mathbb C,\,\lambda\ne 0;\; l\in\mathbb Z,\,0\le l<n,$$ con su correspondiente $f$ -componentes vectoriales $$f_{li}=\frac{(\lambda x_i+\beta)^l}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k},\quad f'_{li}=\frac{\lambda l(\lambda x_i+\beta)^{l-1}}{\prod\limits_{k\ne i}x_i-x_k}.$$

Entonces: $$DA f_l=\lambda l f_l,\tag5$$ donde hemos multiplicado ambos lados de la ecuación $(4)$ mediante una matriz diagonal $D$ con elementos $$D_{ii}=\lambda x_i+\beta.$$

De ello se deduce que $f_l$ son los vectores propios de la matriz $DA$ con los correspondientes valores propios $\lambda l$ . Obsérvese que hemos encontrado todos $n$ (distintos) valores propios de la matriz.

Dado que el determinante de la matriz $DA+Ix$ es el polinomio característico de la matriz $DA$ evaluado en $-x$ se obtiene: $$\det (DA+I x)=\prod_{l=0}^{n-1} x+\lambda l\\ \implies \det (A+D^{-1}x)=\det{D^{-1}}\det (DA+Ix) =\prod_{l=0}^{n-1}\frac{x+\lambda l}{\lambda x_{l+1}+\beta}.\tag6$$

Sólo queda observar que $A+D^{-1}x$ con $\lambda=1$ , $\beta=-b$ , $x=c$ , $x_i=a_i$ es exactamente su matriz $M$ .