Se $121$ $400$ el único cuadrados perfectos de la forma $\sum\limits_{k=0}^{n}p^k$?

Question

He estado buscando los cuadrados perfectos que puede ser representado como $\sum\limits_{k=0}^{n}p^k$.

Por supuesto, tanto en $n$ $p$ deben ser números naturales de más de $1$.

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La búsqueda hasta el$n=100$$p=200$, sólo he encontrado $2$ de los casos:

• $121=11^2=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4=\sum\limits_{k=0}^{4}3^k$
• $400=20^2=7^0+7^1+7^2+7^3=\sum\limits_{k=0}^{3}7^k$

Hay alguna forma de probar que no hay otros casos?

Answer 1

Girando un comentario en respuesta (de clases)....

Varios documentos (por ejemplo, este uno por Yann Bugeaud y Preda Mihailescu) citan artículos de Nagell y Ljunggren como la demostración de que no existen los cuadrados perfectos de la forma distinta a las que el OP se encuentra.

Como para el problema más general de lo que representa un arbitrario de poder perfecto, un trabajo reciente de Michael Bennett y Aaron Levin ofrece esta evaluación en su resumen (en negrita énfasis añadido):

La ecuación de Diophantine ${x^n−1\over x-1} = y^q$ tiene cuatro conocidos soluciones en enteros $x$, $y$, $q$ y $n$ $|x|, |y|, q \gt 1$ y $n \gt 2$. Mientras esperamos que los hay, de hecho, no hay más soluciones, tal resultado es mucho más allá de la tecnología actual.

Las otras dos soluciones que se hace referencia son el perfecto cubo de $7^3$ expresado como$1+18+18^2$$1+(-19)+(-19)^2$.

Véase también el MathOverflow respuesta por cilindro.