¿Existe un subconjunto definible por ZFC de los números reales cuya cardinalidad sea demostrable $\aleph_1$ ¿Sin asumir la Hipótesis del Continuum?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La situación es complicada.
Existe un mapa suryectivo desde $\Bbb R$ en $\omega_1$ Esto es demostrable en $\sf ZF$ y, por tanto, utilizando la elección, este mapa tiene una inversa inyectiva que es un subconjunto de $\Bbb R$ que tiene el tamaño $\aleph_1$ . La función, por cierto, es la siguiente:
Fijar una biyección entre $\Bbb R$ y $\Bbb{R^N}$ , a continuación, el mapa $x$ a $\alpha$ si su correspondiente secuencia en $\Bbb{R^N}$ es una enumeración de un conjunto que está bien ordenado en la norma $<$ relación de $\Bbb R$ . De lo contrario, el mapa $x$ a $0$ . Como todo ordinal contable se incrusta en los racionales, se trata ciertamente de una función suryectiva.
Pero, ¿es este conjunto definible ? ¿En qué sentido? En cualquier sentido razonable, se puede afirmar que no es definible, a menos que la inversa inyectiva sea definible (lo que podría ser el caso, dependiendo de axiomas adicionales como $V=L$ ). Permítanme señalar que aquí por definible queremos decir "definible en el universo de la teoría de conjuntos sin parámetros".
Podemos interpretar definible como Borel, que sería una forma sensata de interpretar esto fuera del contexto de la teoría de conjuntos, y entonces la respuesta es ciertamente negativa. Todos los conjuntos incontables de Borel tienen una copia del conjunto de Cantor dentro de ellos, lo que los hace del tamaño de los números reales. En otras palabras, los conjuntos de Borel no son contraejemplos de la Hipótesis del Continuo, y no pueden tener probadamente el tamaño $\aleph_1$ .
Bien, volviendo a la pregunta original. El enfoque ingenuo para un contraejemplo sería colapsar el continuo y añadir muchos reales de Cohen. Esto, en principio, debería funcionar. Pero la prueba directa parece tropezar con un obstáculo cada vez que se recuerda que se está hablando de conjuntos de reales, y no de conjuntos de ordinales. David Asperó sugirió una solución diferente: $\Bbb P_{\max}$ forzar el paso $L(\Bbb R)$ como modelo de $\sf AD$ .
Desde $\Bbb P_\max$ es homogénea, no añade ningún real y obliga a $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ podemos demostrar que cualquier conjunto definible de reales ya estaba en $L(\Bbb R)$ y por $\sf AD$ tiene un subconjunto perfecto. Por lo tanto, tiene un tamaño $\aleph_2$ .
Pero esto requiere una fuerza de consistencia bastante fuerte. Y sería muy interesante ver si se pueden eliminar los grandes cardenales.
