transformar

Question

Quiero transformar el siguiente $$\prod_{k=0}^{n} (1+x^{2^{k}})$ $ a la forma canónica $\sum_{k=0}^{n} c_{k}x^{k}$

Esto es lo que obtuve hasta ahora \begin{align*} \prod_{k=0}^{n} (1+x^{2^{k}})= \dfrac{x^{2^{n}}-1}{x-1} (x^{2^{n}}+1) \\ \end {align *} pero no sé cómo continuar, ¿puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $ \sum_{k=0}^{n-1} 2^k=2^n-1$. Por lo tanto, la máxima potencia de $x$ en $\prod_{k=0}^{n-1}(1+x^{2^k})$ es $2^n-1$. En otras palabras, ninguno de los términos se repita como seguimos multiplicando por $1+x^{2^n}$. Por lo tanto, la relación puede ser obtenida mediante la inducción.

Es fácil ver que para $n=1$ \begin{equation} \prod_{k=0}^1(1+x^{2^k}) = (1+x)(1+x^2)= 1+x+x^2+x^3. \end{equation} Ahora, supongamos que $\prod_{k=0}^{n-1}(1+x^{2^k}) = \sum_{k=0}^{2^n-1} x^k$. Entonces, tenemos \begin{equation} \prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k}) = \left(\sum_{k=0}^{2^{n-1}} x^k\right)(1+x^{2^{n}}) = \sum_{k=0}^{2^{n}-1} x^k+ \sum_{k=0}^{2^{n}-1} x^{k+2^n} = \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} x^k. \end{equation}

Answer 2

También puede acercarse a esta desde un combinatorical punto de vista:

• La expansión daría una suma de $2^{n+1}$ sumandos.
• Cada sumando es un producto de potencias de $x$ donde el exponente corresponde a una determinada únicamente secuencia $(b_0,b_1,\ldots , b_n)$ de dígitos binarios $b_i \in {0,1}$ para $i=0,\ldots ,n$ donde $0$ significa elija $1 = x^0$ e $1$ significa elija $x^{2^i}$ desde el factor de $(1+x^{2^i})$

Por lo tanto,

$$\prod_{k=0}^{n} (1+x^{2^{k}}) = \sum_{(b_0,b_1,\ldots , b_n) \in \{0,1\}^{n+1}}x^{\sum_{i=0}^nb_i\cdot 2^i}= \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}x^k$$

Answer 3

Se ve bien como

\begin{align} \prod_{k=0}^{n-1}\left(1+x^{2^{k}}\right)&=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1-x^{2^{k+1}}}{1-x^{2^{k}}}\\ &=\frac{1}{1-x}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-x^{2^{k+1}}\right)\prod_{k=0}^{n-2}\left(1-x^{2^{k+1}}\right)^{-1}\\ &={\frac{1-x^{2^{n}}}{1-x}}. \end{align}