¿Cuándo un atlas define de forma única un colector?

Question

Estoy totalmente nueva a la geometría diferencial y estoy teniendo problemas para entender una idea muy básica. En lo que sigue, me disculpo por ser gratuitamente pedante, pero quiero estar seguro de que me entiendan claramente lo que está pasando.

Si $M$ es un conjunto y $T$ es una topología en $M$ tal que $(M,T)$ es Hausdorff y la segunda contables, a continuación, $M$ es topológico, colector de si para todas las $p\in M$ existe un par ordenado $(U,x)$ tal que $U \subset M$ es $T$-abrir y $x:U\rightarrow \mathbb{R}^d$ es un homeomorphism cuya imagen es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^d$ en el estándar de la topología.

Pares ordenados $(U,x)$ que satisfacen las condiciones del párrafo anterior son llamados cartas en el colector. Un atlas de las $M$ es una colección de cuadros en la $M$, $A = \{(U_a,x_a)\colon a \in I\}$, de tal manera que $\cup_{\alpha\in I}U_a = M$.

Pregunta 1: ¿cada colector tiene al menos un atlas?

Mi respuesta: yo creo que es así, ya que por la definición de un colector existe al menos un gráfico para cada punto, y la colección de todos o al menos uno de los gráficos en cada punto puede ser tomado como un atlas. Quizás, sin embargo hay algún problema técnico en el conjunto de la teoría, con esta construcción.

Pregunta 2: ¿un atlas única definir un colector? Es decir, si $A$ e $A'$ son atlas y $A \neq A'$, es necesario cierto que los colectores con el $(X,T)$ como sus subyacente en el espacio, pero con atlas $A$ e $A'$ , respectivamente, son diferentes? (En el sentido ingenuo--no considerar la posibilidad de que sean diffeomorphic)

Creo que el concepto básico estoy luchando aquí es lo que la ingenua noción de equivalencia es para los colectores. (Por ejemplo, para espacios topológicos "ingenuo equivalencia" significa que las dos subyacente conjuntos son iguales y los dos topologías tienen exactamente la misma abierto conjuntos, en lugar de la existencia de un homeomorphism, que es una forma más sofisticada de la noción de equivalencia.)

Si en lugar de definir un topológico colector como un ordenado triple $(M,T,A)$, donde $A$ es un atlas, mi confusión se desvanece. Pero, a continuación, ingenuo de equivalencia requiere exactamente los mismos gráficos en el atlas, que pueden ser demasiado razonable decir que dos colectores son los mismos. También he visto no esta definición en cualquiera de las referencias que yo estoy usando. Esto nos lleva a la siguiente pregunta.

Pregunta 3: ¿Es posible definir un colector como un ordenado triple, como en el párrafo anterior?

Answer 1

Para la Pregunta 1, que están a la derecha. Por ejemplo, usted puede tomar el conjunto de todos los gráficos en $(M,T)$ y que será un atlas.

Para las Preguntas 2 y 3, como se ha definido un topológico colector, topológico, el colector es sólo un espacio topológico que satisface ciertas propiedades. Así, un atlas en realidad no tiene nada que ver con lo topológico, colector (un atlas en el que sólo pasa a existir en cualquier topológica del colector). Dos colectores son iguales si son iguales como espacios topológicos.

Dicho esto, nadie realmente se preocupa acerca de la igualdad de los colectores. Lo que la gente realmente importa es si los dos colectores se homeomórficos (o más específicamente, si determinados mapas entre ellos se homeomorphisms). En otras palabras, el "ingenuo equivalencia" que están pidiendo no es importante para todas las aplicaciones. Como resultado de ello, es perfectamente posible utilizar una definición como la que usted propone en la Pregunta 3, donde un atlas es parte de lo que un colector. Esto va a cambiar lo que la igualdad de colectores de medios (es decir, "ingenuo equivalencia") pero no va a cambiar la noción de equivalencia que realmente importa, que es homeomorphism.

En el lenguaje de la categoría de teoría, puede definir una categoría $Man$ cuyos objetos son topológica de los colectores (de acuerdo a su definición original) y cuyos mapas se continua mapas. También puede definir una categoría $Man'$ cuyos objetos son topológicas colectores junto con un atlas y cuyos mapas se continua mapas. Hay un olvidadizo functor $F:Man'\to Man$ , que olvida el atlas. Este functor no es un isomorfismo de las categorías, pero es una equivalencia de categorías, lo cual es suficiente para todo lo que la gente siempre quiere hacer con los colectores.

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Como observación final, atlas son bastante irrelevantes para el estudio topológico de los colectores. La razón atlas es importante, para definir suave colectores, que imponen algunas condiciones adicionales sobre qué tipo de atlas están permitidos. Un smoooth colector no puede ser definido simplemente como un espacio topológico, sino que debe ser definida como un espacio topológico, junto con un atlas en el que la satisfacción de ciertos supuestos (o topológico, espacio, junto con alguna otra estructura adicional equivalente a un atlas).

Para suavizar los colectores, aunque un atlas en el que deben incluirse en la definición, no es todavía un problema similar a sus Preguntas 2 y 3. Es decir, diferentes atlas puede dar "el mismo" suave colector, en el sentido de que el mapa de identidad es un diffeomorphism. Esto significa que si se define un suave colector como un triple $(M,T,A)$ donde $(M,T)$ es un espacio topológico y $A$ es un buen atlas en $(M,T)$, entonces el "ingenuo equivalencia" no es la equivalencia que realmente importa, similar a si se utiliza la definición topológica de colectores propuesto en la Pregunta 3.

Para evitar esto, muchos autores, en lugar de definir un suave colector como un triple $(M,T,A)$ donde $(M,T)$ es un espacio topológico y $A$ es una máxima suave atlas en $(M,T)$ (o, alternativamente, $A$ es una clase de equivalencia de suave atlas en $(M,T)$). Esto hace que la elección de $A$ única, en el sentido de que si $(M,T,A)$ e $(M,T,A')$ son suaves colectores tal que el mapa de identidad $M\to M$ es un diffeomorphism entre ellos, a continuación, $A=A'$. Como con topológico colectores, aunque, realmente no importa si usted usa esta definición o el anterior, ya que todo lo que cambia es lo que significa para dos liso colectores para, literalmente, ser iguales y eso no es lo que realmente importa.