Consideremos un cuadrado$10$ x$10$ y escribamos en cada cuadrado unitario los números de$1$ a$100$

Question

Consideremos un cuadrado $10\times 10$ y escribamos en cada cuadrado unitario los números desde $1$ a $100$ de manera tal que cada dos números consecutivos estén en cuadrados que tengan un borde común. Luego hay dos cuadrados perfectos en la misma línea o columna. ¿Me puedes dar una pista? ¿Cómo empezar?

Answer 1

Podemos señalar los siguientes:

1. Escribe las coordenadas de $k$ como $(i_k,j_k)$, donde $i_k$ es la columna que $k$ está en; $i_k \in \{1,2,\ldots, 10\}$; y $j_k$ es la fila que $k$ está en; $j_k \in \{1,2,\ldots, 10\}$. Entonces si $i_k+j_k$ es incluso, a continuación, $i_{k+1} + j_{k+1}$ debe ser impar, para cada una de las $k=1,2,\ldots, 99$.

2. Si $i_{k^2} + j_{k^2}$ es incluso, a continuación, $i_{(k+1)^2} + j_{(k+1)^2}$ debe ser impar, como $(k+1)^2-k^2$ es un entero impar, para cada una de las $k=1,2,\ldots, 9$.

3. Llamamos a un cuadrado de $k^2$ incluso-incluso si $i_{k^2}$ e $j_{k^2}$ son ambos inclusive. y llamamos a un cuadrado de $k^2$ impar-impar si $i_{k^2}$ e $j_{k^2}$ son ambos impares. Llamamos a una plaza mezclados de otro modo. Entonces si $k^2$ es impar-par o impar-incluso, a continuación, $(k+1)^2$ debe ser mezclado.

Así que a partir de 3 tenemos las siguientes:

4. Precisamente, 5 plazas son mixtos, y, precisamente, 5 plazas que son incluso-par o impar-impar.

Pero esto es imposible, a menos que una fila o columna tiene, al menos, 2 plazas:

En efecto: al menos 3 de las plazas $k^2; k=1,2,\ldots, 10$; incluso aún, o al menos 3 de las plazas se impar-impar. Supongamos que 3 de las plazas son aún-incluso. Entonces, si cada fila y columna tiene exactamente un cuadrado, luego de los 5 mixto plazas, sólo 2 puede ser incluso de una columna (como 3 de las columnas han sido ya adoptadas por el 3-evens y tan sólo hay 2 columnas a la izquierda). Y de la misma manera, sólo el 2 puede ser en una fila. Pero esto implica que al menos uno (es decir, $5-2-2$) de los 5 mixto plazas es impar-impar después de todo, lo que contradice 4. por encima de. [El también mantiene la misma línea de razonamiento se aplica en el caso 3 de las plazas se impar-impar.]

Answer 2

Aquí hay varias sucesivamente más revelador sugerencias, oculto detrás de spoilers en caso de que usted desea para tratar el problema después de sólo lectura de uno o dos.

Sugerencia 1:

El Color de su $10\times 10$ junta como un tablero de ajedrez. ¿Qué se puede decir acerca de los colores de los cuadrados que contienen cuadrados perfectos?

Más específicamente:

¿Cómo funciona el color de la plaza de $1$ comparar a la de $4$? Y ¿cómo se $4$ comparar a la de $9$? Etc.

Sugerencia 2:

En general, muestran que para cualquier $10$ plazas en pares diferentes filas y columnas, un número de estas plazas deben ser de color negro.

Suponiendo que una ruta de acceso donde los cuadrados perfectos son en diferentes filas y columnas existe, combina este hecho con la conclusión de la Sugerencia de $1$ para obtener una contradicción.

Sugerencia 3:

Esto entra en más detalles acerca de cómo probar la primera frase de la Sugerencia de $2$.

Supongamos que hay $10$ plazas en pares diferentes filas y columnas. Una plaza en la fila $i$ y la columna de $j$ es negro, si y sólo si $i+j$ es incluso.

Supongamos que la plaza en la fila $i$ está en la columna $\pi_i$, donde $\pi$ es una permutación de $\{1,2,\dots,n\}$. A continuación, la suma de$\sum_{i=1}^{10}(i+\pi_i)$ es igual en paridad con el número de cuadrados de color negro, entonces usted necesita para probar esta suma es par.