Demuestre que si $a_n,b_n\in\mathbb{R}$ , $(a_n+b_n)b_n\neq0$ y ambos $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)^2$ convergen, entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{a_n+b_n}$ converge.
Si $a_n$ es positivo, he podido resolver. ¿Cómo podemos resolver en general?
Escriba $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ . Entonces tenemos $c_n\ne -1$ y también $\sum c_n$ , $\sum c_n^2$ convergen. Tenemos que demostrar $\sum \frac{c_n}{1+c_n}$ converge.
Basta con demostrar que la suma de $$c_n-\frac{c_n}{1+c_n}=\frac{c_n^2}{1+c_n}.$$ converge, ya que $\sum c_n$ converge.
Pero $1+c_n\to 1$ . Entonces $\sum\frac{c_n^2}{1+c_n}$ converge por comparación con $\sum c_n^2 $ .
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