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Question

Encontrar valor de $\displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{x\sin x}{(x^2+1)^3}dx$

Deje $$ I = \frac{1}{2}\int^{\infty}_{0}\sin x\frac{2x}{(x^2+1)^3}dx$ $

Integración por partes

PS

¿Cómo lo resuelvo?

Answer 1

$$I=\int_0^\infty \frac{x \sin x}{(1+x^2)^3}dx=-\frac14 \underbrace{\frac{\sin x}{(1+x^2)^2}\bigg|_0^\infty}_{=0} +\frac14 \int_0^\infty \frac{\cos x}{(1+x^2)^2}dx $$ Ahora tenemos que $I=-\frac14 J'(1)$ , ya que podemos tomar: $$J(a)=\int_0^\infty \frac{\cos x}{a+x^2}dx \Rightarrow J'(a)=-\int_0^\infty \frac{\cos x}{(a+x^2)^2}dx$$ Por lo tanto todo lo que tenemos que hacer es encontrar a $J(a)$ , a continuación, tomar un derivado y establezca $a=1$.

Pero uno puede encontrar por ejemplo aquí : $$J(a)=\frac{\pi}{2 \sqrt a }e^{-\sqrt a}\Rightarrow J'(a)=\frac{\pi}{2}\left(-\frac12 a^{-3/2}e^{-\sqrt a} -\frac{1}{\sqrt a} e^{-\sqrt a} \frac{1}{2\sqrt a}\right)$$

$$\Rightarrow I=-\frac14J'(1)=\frac{\pi}{8}\left(\frac12 e^{-1}+\frac12 e^{-1}\right)=\frac{\pi}{8e}$$