¿Es esta desigualdad de tipo Poincaré válida?

Question

Está demostrado que la desigualdad de Poincaré es cierto para funciones con cero significa seguimientos de límite. Motivados por esto, tengo la siguiente pregunta:

Deje $\Omega$ ser un proceso abierto,acotado y conectado subconjunto de $\mathbb R^3$ con un $C^2-$límite de $\partial \Omega \equiv \Gamma$. Si $f \in W^{1,2}(\Omega)$ entonces podríamos afirmación de que:

${\vert \vert f - \frac{1}{\vert \Gamma \vert } \int_{\Gamma} {\vert f \vert}^{1/2} \vert \vert}_{L^2(\Omega)} \leq C {\vert \vert \nabla f \vert \vert}_{L^2(\Omega)}$

Si por cualquier $u\in \{ u\in H^1(\Omega): \frac{1}{\vert \Gamma \vert } \int_{\Gamma} u=0 \}$ tenemos la estimación: ${\vert \vert u \vert \vert}_{L^2(\Omega)} \leq C {\vert \vert \nabla u \vert\vert}_{L^2(\Omega)}$ entonces me parece lógico que la demanda podría ser cierto. Sin embargo, no he podido probarlo (si de hecho puede ser probado) por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias de antemano!

Answer 1

Al subir con las desigualdades, es importante que las ecuaciones que conseguir ser " dimensionalmente consistente, En particular, a menudo podemos utilizar los argumentos de escala para mostrar que sólo ciertos tipos de desigualdades son posibles.

En este caso particular, fijemos una función de $g$, y deje $f_\lambda = \lambda g$ para todos los $\lambda > 0$. A continuación, la desigualdad quisiera tener $$\lVert \lambda g - \sqrt{\lambda} \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} |g|^{1/2} \rVert_{L^2} \leq C \lambda \lVert \nabla g \rVert_{L^2}$$ Si cancelamos un factor de $\lambda$ desde ambos lados, tenemos $$\lVert g - \frac{1}{|\Gamma|\lambda^{1/2}} \int_\Gamma |g|^{1/2} \rVert_{L^2} \leq C \lVert \nabla g \rVert_{L^2}$$ Pero, como $\lambda \to 0$, $\lambda^{-1/2} \to \infty$, por lo que el término de la izquierda se hace más grande sin límite de cero $g$, mientras que el término de la derecha es constante, lo cual es una contradicción.

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Por supuesto, un físico ni siquiera tendría que ir a través de este cálculo: los términos de $f$ e $\frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} |f|^{1/2}$ tienen diferentes unidades, así que no hay manera de que podamos restar!