Conexión de cómputo 1-formas de múltiples productos deformados usando el método de mover marcos

Question

Deje $(\bar{M},\bar{g})$ e $(\dot{M},\dot{g})$ ser dos de Riemann colectores y deje $f\in C^{\infty}(\bar{M})$ estar en ninguna parte de cero. Deje $(M^n,g)$ ser el warped producto de los dos colectores con deformación de la función $f$; es decir, $M=\bar{M}\times\dot{M}$ y \begin{equation} g=\bar{g}\times_f\dot{g}:=\bar{\pi}^*\bar{g}+(f\circ\bar{\pi})^2\dot{\pi}^*\dot{g} \end{equation} donde $\bar{\pi}:\bar{M}\times\dot{M}\to\bar{M}$ e $\dot{\pi}:\bar{M}\times\dot{M}\to\dot{M}$ son los naturales de las proyecciones. (Si te gusta, podemos simplemente escribir $g=\bar{g}+f^2\dot{g}$).

Convención sobre los índices de: $1\leq a,b,c,\cdots\leq q$ para $(\bar{M},\bar{g})$, $q+1\leq\alpha,\beta,\gamma,\cdots\leq n$ para $(\dot{M},\dot{g})$ e $1\leq i,j,k,\cdots\leq n$ para $(M,g)$. Convenio de sumación de Einstein es de suponer.

Deje $\left\{\bar{\omega}^a\right\}_{a=1}^q$ e $\left\{\dot{\omega}^{\alpha}\right\}_{\alpha=q+1}^n$ ser local ortonormales coframes en $(\bar{M},\bar{g})$ e $(\dot{M},\dot{g})$ respectivamente. A continuación, un local ortonormales coframe en $(M,g)$ puede ser dada por \begin{align} \omega^i:=\left\{ \begin{array}{ccl} \bar{\pi}^*\bar{\omega}^i & \mbox{if} & 1\leq i\leq q \\ (f\circ\bar{\pi})\dot{\pi}^*\dot{\omega}^i & \mbox{if} & q+1\leq i\leq n \end{array} \right. \end{align} (De nuevo, si te gusta, podemos simplemente escribir $\bar{\omega}^i$ e $f\dot{\omega}^i$ respectivamente). Por otra parte, en virtud de estos dos coframes, denotan la conexión de 1-formas por $\bar{\omega}^b_a$ e $\dot{\omega}^{\beta}_{\alpha}$ respectivamente.

Mi objetivo es calcular la conexión de 1-formas de $(M,g)$. Tomando exterior derivados de la definición de $\omega^i$, la aplicación de la Cartan del 1º de ecuaciones estructurales y se reúnen las condiciones para la LHS, llego a \begin{gather} \omega^b\wedge\big(\omega^a_b-\bar{\pi}^*\bar{\omega}^a_b\big)+\omega^{\beta}\wedge\omega^a_{\beta}=0 \\ \omega^b\wedge\left(\omega^{\alpha}_b-\frac{(f\circ\bar{\pi})_b}{f\circ\bar{\pi}}\omega^{\alpha}\right)+\omega^{\beta}\wedge\big(\omega^{\alpha}_{\beta}-\dot{\pi}^*\dot{\omega}^{\alpha}_{\beta}\big)=0 \end{reunir} donde $(f\circ\bar{\pi})_i$ se define a través de $d(f\circ\bar{\pi})=(f\circ\bar{\pi})_i\omega^i$.

Ahora es tentador concluir directamente desde arriba que \begin{align} \omega^a_b&=\bar{\pi}^*\bar{\omega}^a_b \\ \omega^{\alpha}_{\beta}&=\dot{\pi}^*\dot{\omega}^{\alpha}_{\beta} \\ \omega^{\alpha}_b&=\frac{(f\circ\bar{\pi})_b}{f\circ\bar{\pi}}\omega^{\alpha} \end{align} pero no creo que esto es válido en general para la suma de cuña de productos. El Cartan del lema nos dice que en la mayoría de nosotros sólo puede concluir que las expresiones en paréntesis se puede escribir como una combinación lineal de las $\omega^i$'s (esto es trivial aquí) con los coeficientes de satisfacer algunas de simetría en los índices.

Por lo tanto, me gustaría preguntar por el camino a seguir. ¿Cómo podemos seguir para el cálculo de la conexión de 1-formas? Cualquier comentario, sugerencia y la respuesta es bienvenida y apreciada.

P. S. Esto no es una tarea problema. Yo sólo estaba tratando de explorar y jugar en torno a las cosas por mi cuenta. Por lo tanto, hay una posibilidad de que lo que he escrito contiene algunos errores. Siéntase libre me corrija si he escrito algo mal.

Answer 1

Sus instintos son a la derecha. Lo que está faltando es la simetría habitual/skew-simetría argumento de la combinación de la Cartan lema con skew-simetría de la de Levi-Civita de conexión formas para probar la unicidad. Recordar que si $\sum \omega^i\wedge \omega^j_i = 0$, a continuación, $\omega^j_i = \sum a^j_{ik}\omega^k$, $a^j_{ik}=a^j_{ki}$ por el Cartan lema. Pero el hecho de que estas son formas de conexión de Levi-Civita de conexión indica que $a^j_{ik} = -a^i_{jk}$. Por lo tanto, $$a^j_{ik} = -a^i_{jk} = -a^i_{kj} = a^k_{ij} = a^k_{ji} = -a^j_{ki} = -a^j_{ik},$$ por lo $\omega^j_i = 0$, como usted desea.