¿Por qué deberíamos prestar especial atención a la mayoría de las soluciones polinomialmente crecientes de PDE?

Question

La ecuación \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial t} (t,x) = \frac{1}{2} \text{Trace}[\sigma(x) \sigma(x) (\text{Hessian}_x u)(x,t)] + \langle \mu (x) , (\nabla_x u) (t,x) \rangle, \\ u(0,x) = \varphi(x), \end{reunir} se llama la prueba de Kolmogorov ecuación diferencial parcial.

Conozco un resultado que los estados, que esta ecuación tiene una única, en la mayoría de los exponencialmente creciente de la viscosidad de la solución bajo algunos supuestos, incluyendo la continuidad de las $\varphi$ locales y de Lipschitz de continuidad para $\sigma, \mu$.

He visto varios de solución-teoremas de existencia de este tipo asociados con ecuaciones en derivadas parciales y estoy confundido por el énfasis puesto en "en la mayoría de polinomio de crecimiento" de las soluciones aparentemente necesario para singularidad en varios casos. Soy bastante nuevo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y me pregunto por qué sólo nos parecen de atención acerca de las soluciones que crecen en la mayoría de los exponencialmente.

¿Qué acerca de otras soluciones que puedan existir y de no cumplir con este requisito de crecimiento?

Son en la mayoría de los exponencialmente creciente de soluciones de los únicos que son interesantes en aplicaciones?

No veo razón para que solo fuera en la mayoría de los exponencialmente creciente de soluciones y darles la atención especial si hay muchas otras soluciones; parece un tanto arbitrario de la propiedad a mí. Así que ¿por qué estamos satisfechos con la existencia teoremas como el de Kolmogorov ecuaciones en derivadas parciales de arriba?

Si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre lo que hace que las soluciones de este tipo son particularmente interesantes, eso sería fantástico!

Saludos cordiales,

Joker

Answer 1

Es bien conocido (ver Evans Ch.2) que las soluciones de ecuaciones parabólicas no son los únicos que sin unas condiciones de crecimiento en $\infty$. Para el lineal de la ecuación del calor, es necesario que $|u(x,t)|\leq e^{A|x|^2}$, por lo que polinomial y exponencial crecimiento está permitido. Así que no es inusual para restringir, digamos, el polinomio de crecimiento de las soluciones, ya que esto implicaría la existencia y unicidad. Funciones polinómicas de crecimiento constituyen una muy amplia clase de funciones en el contexto de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. La mayoría de las veces, uno tiene que hacer mucho más fuerte que las condiciones de crecimiento, decir acotado, o crecimiento lineal, para obtener la singularidad de la viscosidad de las soluciones (en el ajuste no lineal).