Tiene $$2^{n-1}\equiv 2^{41}+1\mod n$$ una solución con un número entero positivo $\ n>1\ $ ?
Motivación : La ecuación $$2^{n-1}\equiv k\mod n$$ siempre tiene solución, si $\ k-1\ $ tiene un factor primo impar (este factor primo impar es entonces una solución) y para $\ k=2^m+1\ $ Conozco una solución para $$m=1,2,3,\cdots,40$$ Por lo tanto, este es el número más pequeño para el que no conozco solución. Hasta $\ n=10^9\ $ no hay solución.
1 votos
¿Podría decirnos algo más sobre los casos $m<41$ ? ¿Cómo encontró soluciones en esos casos?
1 votos
¿Sabe usted $n$ modulo $3$ o $4$ ? ¿Puede descartar el caso $11\mid n$ ?
0 votos
N es impar. no prime. etc.
0 votos
Tampoco es 0 mod 3.
1 votos
He hecho algunos cálculos, y fuera de ellos son correctos, no hay solución con $n<10^{10}$ . Por curiosidad, ¿cuáles son las soluciones para $m=2$ y $m=12$ ?
0 votos
Desgraciadamente, sólo encontré las soluciones mediante una versión mejorada de fuerza bruta. La solución más pequeña para $k=5$ por ejemplo es $$n=24430928839$$
0 votos
Primera restricción : Puesto que $n$ debe ser impar y por lo tanto $n-1$ par, cada factor primo $p$ de una solución $n$ de $$2^{n-1}\equiv k\mod n$$ con impar $k$ debe tener la propiedad de que $k$ es un residuo cuadrático mod $p$ . Segunda restricción : Un primo $p$ sólo puede ser un factor primo de una solución $n$ si $2^s\equiv k\mod p$ tiene solución. En este caso, las soluciones $s$ son únicas módulo al orden de $2$ modulo $p$ . Esto acelera la búsqueda, pero para primos pequeños sigue llevando mucho tiempo. Estaría muy bien un método para construir una solución.
0 votos
Para $m=12$ una solución es $$n=45338810593$$
1 votos
Si estas soluciones representan algún interés, sugeriría añadir las soluciones mínimas (indexadas por $m$ ) como secuencia a la OEIS . Hay muchas otras secuencias de tipo similar ya presentes allí.