CONTINUA

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ es una función continua tal que $xf(f(f(x)))=1$ para todos $x>0$ .

Encontré que $f(x)=1/x$ es una solución. ¿Podríamos encontrar otra tal función? ¿Y por qué?

Answer 1

No, $f(x)=1/x$ es la única solución.

La prueba consta de varios pasos sencillos.

parte 1: $f$ es estrictamente decreciente:

En primer lugar, nos muestran que la $f$ es surjective. Deje $x>0$. Entonces $$ f(f(f(1/x)))(1/x)=1 \quad\Rightarrow\quad f(f(f(1/x)))=x. $$ Por lo tanto $f$ es surjective. A continuación, nos muestran que $f$ es inyectiva. Deje $x,y>0$ con $f(x)=f(y)$. Entonces $$ x f(f(f(y))) = x f(f(f(x))) = 1 = y f(f(f(y))) $$ lo que implica $x=y$. Por lo tanto $f$ es inyectiva y por lo tanto bijective. Desde $f$ es bijective y continua, ha de ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Suponga que $f$ es estrictamente creciente. Desde la composición de los estrictamente creciente funciones es estrictamente creciente, de ello se desprende que $f\circ f\circ f$ es estrictamente creciente. Desde $x\mapsto x$ es estrictamente creciente y la multiplicación de las estrictamente creciente no negativo funciones es estrictamente creciente, se sigue que $ x \mapsto x f(f(f(x)))=1$ es estrictamente creciente. Esta es una contradicción. Por lo tanto, $f$ tiene que ser estrictamente decreciente.

parte 2: una prueba indirecta:

Suponga que para algunos $x>0$ tenemos $f(x)>1/x$. En el siguiente cálculo, cada paso es una aplicación simple de $f$ o una multiplicación/división $x$. Desde $f$ es estrictamente decreciente, esto significa que tenemos que cambiar el signo cada vez que aplicamos $f$. Obtenemos $$ \begin{align} && f(x) &>1/x \\ \Rightarrow && f(f(x)) &< f(1/x) \\ \Rightarrow && f(f(f(x))) &> f(f(1/x)) \\ \Rightarrow && 1 = xf(f(f(x))) &> xf(f(1/x)) \\ \Rightarrow && 1/x &> f(f(1/x)) \\ \Rightarrow && f(1/x) &< f(f(f(1/x))) \\ \Rightarrow && (1/x)f(1/x) &< (1/x)f(f(f(1/x))) = 1 \\ \Rightarrow && f(1/x) &<x \end{align} $$ Con esta información podemos empezar de nuevo. $$ \begin{align} && f(x) &>1/x \\ \Rightarrow && f(f(x)) &< f(1/x) \\ \Rightarrow && f(f(x)) &< x \\ \Rightarrow && f(f(f(x))) &> f(x) > 1/x \\ \Rightarrow && 1=xf(f(f(x))) & > xf(x) > x/x = 1 \end{align} $$ lo cual es una contradicción.

Ahora suponga $f(x)<1/x$ para algunos $x>0$. A continuación, podemos obtener una contradicción con el mismo argumento como el anterior, pero el intercambio de los signos $<$ e $>$.

Por lo tanto la única opción posible es que $f(x)=1/x$ para todos los $x$.