Probabilidad; no puedo entender las matematicas

Question

Para una variable aleatoria$x$, defina una distribución de probabilidad$p[x=n]=c (3^n/n!)$ cuando$x=0, 1, 2, \dots$ y$p(x)=0$ de lo contrario. Encuentra el valor de$c$.

Mi profesor proporcionó la solución $$ \ sum_ {x = 0} ^ \ infty \ c \ frac {3 ^ n} {n!} = 1 $$ así que$c\;e^3 = 1$.

No puedo entender por qué la suma tiene el valor$1$.

Answer 1

Cambiaré un poco la notación para que las cosas se vean más familiares. Para$n=0$,$1$,$2$,$3$, y así sucesivamente, tenemos$$P(X=n)=c\frac{3^n}{n!}.$ $

Las probabilidades deben sumarse a$1$, por lo que$$\sum_{n=0}^\infty c\frac{3^n}{n!}=c\left(1+\frac{3}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{3^3}{3!}+\frac{3^4}{4!}+\cdots\right)=1.\tag{$ 1$}$ $ Recuerde del cálculo la serie de potencias (serie de Taylor, serie de Maclaurin) para la función exponencial. $$e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}=1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}+\cdots.$ $ Por lo tanto (tomando$t=3$) podemos reescribir$(1)$ como$$ce^3=1,$ $ de lo cual concluimos que$c=\frac{1}{e^3}=e^{-3}$.