Un mapa lineal del plano que conserva la independencia lineal sobre Q pero no sobre R

Question

Esto es directamente de la Teoría de números algebraicos y FLT de Stewart & Tall, capítulo 8, ejercicio 6, página 150. Puedo construir mapas que hacen cosas extrañas pero no he podido hacer esto. Las representaciones matriciales aún no han dado sus frutos. Este mapa, obviamente, debe ser no singular. He intentado construir secuencias cuyo límite pierde la linealidad pero en vano.

Answer 1

Supongo que "lineal" aquí significa$\mathbb Q$ - lineal. Dejar $v_1=(1,0)$, $v_2=(\sqrt 2,0)$, $v_3=(0,1)$. En el intervalo$\mathbb Q$ de estos tres vectores, tenemos un automorfismo lineal que mapea$v_1\to v_2$,$v_2\to v_3$,$v_3\to v_1$. Extiéndalo a un$\mathbb Q$ - automorfismo lineal$f$ de$\mathbb R^2$ (usa el axioma de elección). Como$f(v_1)$ y$f(v_3)$ son$\mathbb R$ - dependientes lineales pero$v_1,v_3$ no lo son, esto parece ser lo que está buscando.