Demuestre que:$a_n>0$, entonces,$\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge si converge$\sum_{n=1}^\infty \sin(a_n)$.

Question

Se me presenta el problema: deje que$a_n>0$, demuestre que$\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge si y solo si$\sum_{n=1}^\infty \sin(a_n)$ converge.

Tenemos este problema en una tarea, y no creo que pueda ser verdad. La declaración de bicondicional implica que cuando$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(a_n)$ converge, también lo hace$\sum_{n=1}^\infty a_n$, pero si tomamos$a_n=\pi n$ o incluso$a_n=\pi$, entonces$\sum_{n=1}^\infty \sin(a_n)$ converge mientras$\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverges. ¿Mi pensamiento es incorrecto?

Answer 1

La declaración dada no es verdadera ya que la serie$\sum \pi = \infty$, mientras que$\sum \sin\pi = 0$, pero una dirección es verdadera.

Primero, note que$0<\sin x< x$ para cada$0<x<\pi$. Si$\sum a_n$ converge, entonces$a_n\to 0$ como$n\to\infty$. Por lo tanto, hay algunos$N\in\Bbb N$ tales que para todos los$n\ge N$, tenemos$0<a_n < \pi$. Por lo tanto,$0<\sin a_n < a_n$ para cada$n\ge N$, para que $$ \ sum_ {n \ ge N} \ sin a_n \ le \ sum_ {n \ ge N} a_n <\ infty, $$ así que$\sum \sin a_n$ converge.

Answer 2

Aquí en otro para hacer la declaración verdadera asumimos.

$0<a_n<1$ de lo contrario, la declaración es muy falla, con$a_n =n\pi$

Supongamos que,$0<a_n<1$ luego, utilizando el hecho de que, para todos los$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ tenemos,$$\frac{2}{\pi}|x|\le |\sin x|\le |x|$ $ el reclamo sigue

Answer 3

Al $x>0$ está cerca de a $0$ $x/2 < \sin x < x$ (y sólo la primera de estas dos desigualdades depende de $x$ estar cerca de $0$).

Y al $x<0$ está cerca de a$0$, entonces usted tiene $x < \sin x<x/2.$

Así que si $\sum_n a_n$ converge, entonces también lo hace $\sum_n (a_n/2),$ $\sin a_n$ es apretado entre los.

Y si $a_n\to 0,$ $\sin(a_n)$ está encajada entre $a_n$ $0.$

La proposición es verdadera de la serie en la que $a_n\to0.$ sin Embargo, en el ejemplo de exhibición, en la que $\sin(a_n) = 0$ todos los $n$ mientras $a_n\to\infty,$ muestra que si no se puede decir $a_n$ está cerca de a $0$ para todos, pero un número finito de $n,$, entonces usted no puede llegar a esa conclusión.