Solucionar $x^7-5x^4-x^3+4x+1=0$ $x$

Question

Resolver para $x$
$$x^7-5x^4-x^3+4x+1=0$$

Esta ecuación tiene me ha estado molestando desde hace unos días. He encontrado, el uso Racional de la Raíz Teorema que $x=1$ es una raíz de la ecuación. Sin embargo, después de dividir, no puedo resolver los seis grados de la ecuación generada. También he tratado de factorización de la ecuación, pero no está funcionando.

Answer 1

Considere la posibilidad de la identidad

$(x^4-4x-1)^2=x^8-8x^5-2x^4+16x^2+8x+1$

La diferenciación de ambos lados w.r.t. $x$, obtenemos,

$x^7-5x^4-x^3+4x+1=(x^4-4x-1)(x^3-1)$

Ahora, la ecuación se convierte,

$(x^4-4x-1)(x^3-1)=0$

$\implies x=1,\omega, \omega^2$ (donde $\omega$ no es real raíz cúbica de la unidad)

o

$x^4-4x-1=0$

$\implies x^{4}+2x^{2}+1=2x^{2}+4x+2$

$\implies (x^{2}+1)^{2}=2(x+1)^{2}$

$\implies \{x^{2}+1+\sqrt{2} (x+1)\}\cdot \{x^{2}+1-\sqrt{2} (x+1)\}=0$

$\implies x=\dfrac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{2}$

o

$x=\dfrac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

$\therefore x=1,\omega,\omega^2,\dfrac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{2},\dfrac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

Answer 2

usted recibirá $$(x-1)(x^2+x+1)(x^4-4x-1)=0$$ y puedes resolver tu problema