¿Por qué el$\nabla f(x)$ en la dirección ortogonal a$f(x)$?

Question

¿Por qué el$\nabla f$ en la dirección ortogonal a$f$?

No puedo entenderlo intuitivamente.

¿Es por la definición de gradiente?

Answer 1

La afirmación correcta es que el vector gradiente $\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0),\frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0) \right)$ es ortogonal a cualquier nivel de la curva de $\mathbf{\alpha(t)=(x(t),y(t))}$ de la función de $\mathbf{ f} $ punto $\alpha(t_0)=(x_0,y_0)$.

Es decir, el vector gradiente $\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0),\frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0) \right)$ $f$ punto $(x_0,y_0)$ es ortogonal al vector tangente $\alpha'(t_0)=\big(x'(t_0),y'(t_0)\big)$.

Vamos a explicar esto en una forma más detallada. De hecho, esto es la declaración de un teorema de cálculo en varias variables.

Teorema. Deje $f:\Omega\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ ser una función derivable en un abierto $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ y supongamos que todas las derivadas parciales de $f$ son continuas. Considere la posibilidad de una curva de $\alpha:I\to \mathbb{R}^2$ diferenciable en el intervalo de $I=(a,b)$ y que viven en
$$ f^{-1}(c)=\{ (x,y)\in\Omega : f(x,y)=c\}. $$ Una curva con esta propiedad se llama una curva de nivel en $c$. Supongamos que la curva de $\alpha(t)=(x(t),y(t))$ tienen coordenadas $x(t)$ $y(t)$ cuyos derivados $x'(t)$ $y'(t)$ son continuas. Para todos los $t_0\in I$$\alpha(t_0)=(x_0,y_0)$, $$ \langle \nabla f(x_0,y_0), \alpha'(t_0)\rangle = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0)\cdot x'(t_0)+\frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0)\cdot y'(t_0)=0 $$

Prueba. La función de $(a,b)\ni t\mapsto f\circ \alpha(t)= f\big(x(t),y(t)\big)\in\mathbb{R}$ es constante igual a $c$, $f\circ \alpha(t)= f\big(x(t),y(t)\big)=c$. Buscando $f\circ \alpha(t)$ como una función de la variable $t$ sabemos que $$ \frac{d}{dt}(f\circ \alpha)(t)= \frac{d}{dt} f\big(x(t),y(t)\big)=0. $$ Por otro lado, por la regla de la cadena y el gradiente de la propiedad tenemos que $$ \left.\frac{d}{dt}(f\circ \alpha)(t)\right|_{t=t_0} = \frac{\partial}{\partial \vec{v}}f(x,y) = \langle \nabla f(x_0,y_0), \vec{v}\rangle = \langle \nabla f(\alpha(t_0), \alpha'(t_0)\rangle $$ para $\alpha'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))=(v_1,v_2)=\vec{v}$. Entonces $$ \langle \nabla f(x_0,y_0), \alpha'(t_0)\rangle = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0)\cdot x'(t_0)+\frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0)\cdot y'(t_0)=0 $$

Answer 2

El campo de vectores $\operatorname{grad}(f)$ da cuenta de la total derivado de la $f$, en el sentido de que el producto interior de $\operatorname{grad}(f)$ y un vector $v$ da $df(v)$. Pero si $v$ es paralelo a una curva de nivel, a continuación,$df(v) = 0$, por lo que es perpendicular a la pendiente.

Deje $f:M\to \mathbb{R}$ ser una función suave con $n_0$ regular valor. Equipar $M$, con una métrica de Riemann. Supongamos $f(m) = n_0$ $v\in T_mM$ es paralela a la del conjunto de nivel de $f^{-1}(n_0)$. Entonces el truco es:

$$\langle \operatorname{grad}(f),v\rangle = df(v) = 0$$

debido a $v$ es aniquilada por $df$.

Así, en un sentido muy real, esta es una definición de propiedad de la gradiente. Hemos construido el gradiente de modo que quede perpendicular a los conjuntos de nivel.

Answer 3

Tomemos un ejemplo para ilustrar. Deje $f(\boldsymbol{x}) = f(x,y)$. Usted puede pensar $z = f(x,y)$ y puede trazar la gráfica de la función en $\mathbb{R}^3$.

Ahora tome un contorno de $f(x,y)$, es decir, $f(x,y) = c$ total derivado de la muestra $$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y = 0,$$ usted puede pensar $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ como incrementos infinitesimales de $x,y$. Con previo aviso, la ecuación anterior puede ser escrita como $$\nabla f\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d} x\\ \mathrm{d} y \end{bmatrix} =0,$$ hemos demostrado que $\nabla f(x,y)$ es ortogonal a $f(x,y) = c $ todos los $(x,y)$$c$.

Deje $\boldsymbol{v}$ ser un vector unitario, $\nabla f\cdot \boldsymbol{v}$ muestra cómo $f$ habría de cambiar en esa dirección. Aviso $|\nabla f\cdot \boldsymbol{v}|\leq |\nabla f||\boldsymbol{v}| = |\nabla f| $ y la igualdad sólo se cumple para $\boldsymbol{u} = \nabla f/|\nabla f|$. (Se puede discutir de lo que ocurrirá si $|\nabla f| = 0$, es decir, un avión $z = const.$)

Por lo $\nabla f$ ofrece la información sobre cuánto y en qué dirección se $f$ cambios de la mayoría.