Demostrando que esta secuencia converge.

Question

Dada una secuencia $x_n=\left(\dfrac{2n^3+n}{n^3} \right)+ i\left(\dfrac{3n}{n+1}\right)$ ¿Cómo puedo demostrar que converge? ¿Cómo elegiría $N$ ?

Hice lo siguiente.

Dado $\epsilon >0,$ elija $N>[?]$ . Entonces para $n>N$

\begin{align} \left \lvert x_n-(2+3i) \right \rvert & = \left \lvert \frac{2n^3+n}{n^3}-2 \right \rvert+ \lvert \frac{3n}{n+1}-3 \rvert\\ & = \left \lvert \frac{1}{n^2} \right \rvert+ \left \lvert -\frac{3}{n+1} \right \rvert\\ & =\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n+1} \\ & = \frac{n+1+3n^2}{n^2+n^3} <?<\epsilon \end{align}

Por lo tanto $x_n \rightarrow 2+3i$ .

Answer 1

Llegaste al punto en que quieres probar $\,\displaystyle{\frac{3n^2+n+1}{n^3+n^2}<\epsilon}\,$ pero $$\frac{3n^2+n+1}{n^3+n^2}\leq \frac{5n^2}{n^3}\leq \frac{5}{n}$$ así que $\,\displaystyle{\frac{5}{n}<\epsilon \Longrightarrow n>\frac{5}{\epsilon}}\,$ por lo que basta con elegir $\displaystyle{\,N_\epsilon:=\left[\frac{5}{\epsilon}\right] + 1}\,$ tener ese

para cualquier $\,n>N_\epsilon\,$ tenemos la desigualdad deseada (con [x] = la parte entera de x)

Answer 2

La secuencia, como has acertado, converge a $2+3i$ . Tu argumento también está casi bien. Debes aclarar qué norma utilizas para demostrar la convergencia. Normalmente se utiliza la norma euclídea, en cuyo caso se obtiene \begin{align} \left \lVert x_n - (2+3i) \right \rVert_2 & = \left \lVert \left( \frac{2n^3+n}{n^3} + \frac{3n}{n+1} i \right) - (2+3i) \right \rVert_2\\ & = \left \lVert \left( \frac{2n^3+n-2n^3}{n^3} \right) + i \left( \frac{3n-3(n+1)}{n+1} \right)\right \rVert_2\\ & = \left \lVert \left( \frac{1}{n^2} \right) - i \left( \frac{3}{n+1} \right)\right \rVert_2\\ & = \sqrt{\left( \frac1{n^2}\right)^2 + \left(\frac{3}{n+1} \right)^2} \end{align} Tenga en cuenta que para $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos $\dfrac1{n^2} < \dfrac3{n+1}$ . Por lo tanto, obtenemos que $$\sqrt{\left( \frac1{n^2}\right)^2 + \left(\frac{3}{n+1} \right)^2} < \sqrt{\left(\frac{3}{n+1} \right)^2 + \left(\frac{3}{n+1} \right)^2} = \frac{3 \sqrt{2}}{n+1}$$ Ahora dada una $\epsilon > 0$ elige $N(\epsilon) = \dfrac{3\sqrt{2}}{\epsilon} - 1$ . Ahora para todos $n \geq N$ donde $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos que $$\dfrac{3 \sqrt{2}}{n+1} < \epsilon.$$ Por lo tanto, dado un $\epsilon > 0$ elige $N(\epsilon) = \dfrac{3\sqrt{2}}{\epsilon} - 1$ . Ahora para todos $n \geq N$ donde $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos que $$\lVert x_n - \left( 2+3i\right)\rVert_2 < \epsilon$$ Por lo tanto, $x_n \rightarrow 2+3i$ .

---

EDITAR

También puede utilizar la función $1$ -normales como tú. \begin{align} \left \lVert x_n - (2+3i) \right \rVert_1 & = \left \lVert \left( \frac{2n^3+n}{n^3} + \frac{3n}{n+1} i \right) - (2+3i) \right \rVert_1\\ & = \left \lVert \left( \frac{2n^3+n-2n^3}{n^3} \right) + i \left( \frac{3n-3(n+1)}{n+1} \right)\right \rVert_1\\ & = \left \lVert \left( \frac{1}{n^2} \right) - i \left( \frac{3}{n+1} \right)\right \rVert_1\\ & = \left \lvert \left( \frac1{n^2} \right)\right \rvert + \left \lvert \left(\frac{3}{n+1} \right) \right \rvert \end{align} Tenga en cuenta que para $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos $\dfrac1{n^2} < \dfrac3{n+1}$ . Por lo tanto, obtenemos que $$\left \lvert \left( \frac1{n^2} \right)\right \rvert + \left \lvert \left(\frac{3}{n+1} \right) \right \rvert < \left \lvert \left( \frac{3}{n+1} \right)\right \rvert + \left \lvert \left(\frac{3}{n+1} \right) \right \rvert = \frac{6}{n+1}$$ Ahora dado un $\epsilon > 0$ elige $N(\epsilon) = \dfrac{6}{\epsilon} - 1$ . Ahora para todos $n \geq N$ donde $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos que $$\dfrac{6}{n+1} < \epsilon.$$ Por lo tanto, dado un $\epsilon > 0$ elige $N(\epsilon) = \dfrac{6}{\epsilon} - 1$ . Ahora para todos $n \geq N$ donde $n \in \mathbb{Z}^+$ tenemos que $$\lVert x_n - \left( 2+3i\right)\rVert_1 < \epsilon$$ Por lo tanto, $x_n \rightarrow 2+3i$ .

Answer 3

Para secuencias de números complejos ocurre que una secuencia dada de números complejos $a_{n}=x_{n}+y_{n}i$ converge a algún número complejo $x+yi$ si secuencia $x_{n}$ converge a $x$ y como era de esperar $y_{n}$ converge a $y$ . La secuencia diverge si no se cumple al menos una de las condiciones mencionadas.