Valores límite

Question

Yo estaba estudiando el Stephen Boyd libro de texto sobre optimización convexa y tengo una pregunta. El libro dice lo siguiente:

Los valores singulares de $A$, $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_n$ son las raíces cuadradas de los valores propios de a $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$ de $G$ ($G$ es la Matriz de Gram, $A^T A$). Por lo tanto, $\sigma_1^2$ es una función convexa de $G$, e $\sigma_n^2$ es una función cóncava de $G$.

¿Alguien puede explicar por qué el máximo y el mínimo autovalores son cóncavas y convexas función de un Gramo de la matriz?

Gracias.

Answer 1

Si$A$ es una matriz simétrica real, entonces su valor propio máximo es$$\lambda_1(A)=\max_{\|v\|=1} \langle Av, v\rangle \tag1 $ $ y su valor más pequeño es$$\lambda_n(A)=\min_{\|v\|=1} \langle Av, v\rangle \tag2 $ $ Para cada vector fijo$v$ la función$A\mapsto \langle Av, v\rangle$ Es una función lineal de$A$. El máximo de cualquier familia de funciones lineales es convexo. El mínimo de cualquier familia de funciones lineales es cóncavo.