Cuente el número de dibujos posibles

Question

Toma un cuadrado, ABCD. Añade dos puntos, E y F en AB, de forma que AE=EF=FB. Ahora, añade G, H en BC, I y J en CD, K y L en AD.

Ahora elige cuatro pares de los ocho puntos, E,F,G,H,I,J,K,L. Dibuja los segmentos de línea entre tus elecciones, por ejemplo EG,FH, IL, JK. Si consideramos que dos dibujos de este tipo son iguales si se pueden girar uno dentro del otro, ¿cuántos dibujos diferentes hay? ¿Y si ordenamos que el dibujo debe tener una línea de simetría?

Answer 1

Empieza por ordenar todos los pares posibles de la siguiente forma:

\begin {pmatrix} \text {EF} & \text {EG} & \text {EH} & \text {EI} & \text {EJ} & \text {EK} & \text {EL} \\ & \text {FG} & \text {FH}& \text {FI}& \text {FJ}& \text {FK}& \text {FL} \\ && \text {GH}& \text {GI}& \text {GJ}& \text {GK}& \text {GL} \\ &&& \text {HI}& \text {HJ}& \text {HK}& \text {HL} \\ &&&& \text {IJ}& \text {IK}& \text {IL} \\ &&&&& \text {JK}& \text {JL} \\ &&&&&& \text {KL} \end {pmatrix}

Ahora vemos que el número de arreglos de emparejamiento para que todos $4$ pares contienen elementos poco comunes es $7\times 5\times 3\times 1=105$ . Por lo tanto, debe haber $105$ tales dibujos. Obsérvese que un dibujo puede girarse para producir otro patrón de dibujo de pares a partir del otro $104$ dibujos si no es simétrico respecto a la vertical (que pasa desde los puntos medios de $LK$ y $GH$ ) y la horizontal (que pasa por los puntos medios de $EF$ y $IJ$ ), o los ejes diagonales (líneas $AC$ y $BD$ ). Además, se puede girar un dibujo para producir otros 3 patrones de dibujo a partir del otro $104$ dibujos si no es simétrica con respecto a la vertical (que pasa desde los puntos medios de $LK$ y $GH$ ) y la horizontal (que pasa por los puntos medios de $EF$ y $IJ$ ), y los ejes diagonales (líneas $AC$ y $BD$ ).

Definamos diagonalizando como el proceso de rotación de un dibujo por $\pm45^\text{o}$ de forma que cada punto del nodo se desplace una unidad hacia delante (por ejemplo, para $+45^\text{o}$ rotación, punto $E$ se convierte en punto $L$ , $L$ se convierte en $K$ , $K$ se convierte en $J$ etc.).

Obsérvese que generalmente $\text{|EF|}\ne\text{|EL|}$ Sin embargo diagonalizando permite un estiramiento o encogimiento por compensación.

No sabía a cuál de los casos se refería, así que los enumeré todos.

Así que si la diagonalización y el reflejo no están permitidos, entonces hay $35$ dibujos distintos.

Si se permite la diagonalización y no el reflejo, entonces hay $19$ dibujos distintos.

Si se permite tanto la diagonalización como el reflejo, entonces hay $17$ dibujos distintos.