¿Por qué es verdadero$\int_0^\infty f(x) \, dx = \frac{1}{2}\int_0^\infty f(x) \,dx+ \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} \, dx$?

Question

He encontrado un método de integración en este sitio web: https://brilliant.org/wiki/integration-tricks/

Pero no estoy seguro de cómo el sub-U ofrecido en el artículo llega a la conclusión que establece. No estoy muy seguro de por dónde empezar. Mi conocimiento de U-sub no parece funcionar para lograr su respuesta.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Tenemos \begin{align*}\int_0^{\infty} f(x) &= \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) + \frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}x\end {align *}

donde usamos$x \mapsto \frac{1}{x}$ en el segundo término de la primera igualdad.

Answer 2

$$\int_0^\infty \frac{f(1/x)}{x^2}\,dx$ $ Al tomar$x\to 1/x$, tenemos$$ =\int_\infty^0 x^2f(x)\cdot -\frac{1}{x^2}\,dx $$=-\int_\infty^0 f(x)\,dx$$$ $=\int_0^\infty f(x)\,dx$ $y entonces$$\int_0^\infty \frac{f(1/x)}{x^2}\,dx=\int_0^\infty f(x)\,dx$ $ y su resultado se deriva directamente de esto.