¿De qué se trata$F$ - estructuras?

Question

Este es un bonito pregunta abierta. Estoy leyendo Springer libro sobre algebraica de los grupos y estoy muy confundido acerca de estos "$F$-estructuras." Si $k$ es algebraicamente cerrado de campo, y $A$ es un afín $k$-álgebra, podemos poner una topología en el set $S$ de los máximos ideales de la $A$, o, equivalentemente, el conjunto de $k$-álgebra homomorphisms $A \rightarrow k$, y hacer de este espacio topológico en un espacio anillado. Esta rodeada de espacio isomorfo al espacio anillado de regular las funciones de un subconjunto cerrado de $k^n$ en la topología de Zariski, para algunos $n \geq 0$.

Ahora vamos a $F$ ser un subcampo de la $k$. Un finitely generadas $F$-subalgebra $A_0$ dijo ser definido más de $S$ si la obvia $k$-espacio vectorial homomorphism $k \otimes_F A_0 \rightarrow A$ es un isomorfismo. A continuación, el $F$-puntos racionales es el conjunto de $F$-álgebra homomorphisms $A_0 \rightarrow F$.

1 . ¿Qué es esto homomorphism $k \otimes_F A_0 \rightarrow A$ normalmente? Siempre es inyectiva? Es decir, puedo identificar el producto tensor $k \otimes_F A_0$ con el lapso de $A_0$ $A$ $k$- espacio vectorial?

2 . ¿Cuál es la importancia de la $F$-puntos racionales? Hay una topología podemos colocar en él, o una estructura de espacio anillado?

3 . Hasta qué punto podemos hablar de subcampos $F$ $k$ e sus $F$-estructuras, o como resultado espacios topológicos, evitando que los no canónicos o medidas arbitrarias? Por ejemplo, yo prefiero asociar a un afín $k$-álgebra de los anillos espacio de máxima ideales de $A$, porque puedo definir esta topología, sin referencia a un conjunto de generadores $x_1, ... , x_n$$A$, es decir, de forma clara los resultados no dependen de la elección de un subconjunto cerrado $V$ de la topología de Zariski en $k^n$ tal que $A \cong k[X_1, ... , X_n]/I(V)$.

4 . ¿Por qué se $F$-estructuras importante?

Answer 1

Vamos a tomar un simple pero ejemplo representativo.

Supongamos que usted desea considerar el círculo

$$S^1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2 + y^2 = 1\}$$

Ahora la geometría algebraica funciona mejor sobre algebraicamente cerrado campos, y $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado. Pero lo que puede hacer es considerar la variedad algebraica

$$C := V(x^2 + y^2 - 1) \subset \mathbb{A}^2_\mathbb{C}$$

o, lo que es equivalente, su coordenada $\mathbb{C}$-álgebra

$$\mathbb{C}[C] = \mathbb{C}[x,y]/(x^2 + y^2 - 1)$$

Ahora, a diferencia de un arbitrario $\mathbb{C}$-álgebra, $\mathbb{C}[C]$ tiene una propiedad especial: se obtuvo a partir de una $\mathbb{R}$-álgebra mediante la extensión de escalares. Es decir,

$$\mathbb{C}[C] = \mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2 - 1) \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$$

Esto no sería cierto, por ejemplo, el $\mathbb{C}$-álgebra $A = \mathbb{C}[x,y]/(x+iy)$ -- no no $\mathbb{R}$-subalgebra $A_0 < A$, lo que genera $A$ $\mathbb{C}$- álgebra.

El $\mathbb{R}$-puntos racionales de $\mathbb{C}$ son simplemente los puntos de $S^1$ descrito anteriormente. Desde $C$ se define sobre $\mathbb{R}$, podemos pensar en ellas como de las soluciones que más de $\mathbb{R}$ de un sistema de ecuaciones (en este caso, el sistema es solo el de la ecuación de $x^2 + y^2 = 1$)$\mathbb{R}[x,y]$.

Si consideramos que algo que era no definido $\mathbb{R}$, entonces podríamos tener $\mathbb{R}$-puntos racionales, por ejemplo, el álgebra $A$ corresponde a un complejo de línea, con un solo $\mathbb{R}$-racional punto en $(0,0)$, pero no tiene una descripción satisfactoria como la solución a un sistema correspondiente de los polinomios de más de $\mathbb{R}$.

Por supuesto, en la práctica, $F$ es más probable que un campo finito. Esto nos permite considerar las cosas como ${\rm GL}_n(F)$, los cuales son conjuntos finitos, pero donde la correspondiente variedad, más de la clausura algebraica ${\rm GL}_n(F)$ es infinito.

Para responder a tus preguntas:

1. Sí. Ver comentarios
2. Usted quiere pensar en ellos como un subconjunto de la variedad sobre la algebraicas de cierre, que tiene la estructura de un local rodeado de espacio.
3. Nada de lo aquí depende de la elección de los generadores. Si te gusta, la $F$-puntos racionales son de la máxima ideales que son el núcleo de algunos de los $F$-álgebra homomorphism $A \to F$.
4. Ver arriba.

Todo esto es probablemente mucho más fácil de entender en el esquema de la teoría de términos. Ver, por ejemplo, Mumford, la descripción de ${\rm Spec} \mathbb{R}[x]$, por ejemplo.