Evaluar la integral (Olimpiada rumana)

Question

$$ \int\cos x\cdot\cos^2(2x)\cdot\cos^3(3x)\cdot\cos^4(4x)\cdot\ldots\cdot\cos^{2002}(2002x)dx $$

Tomado de la olimpiada rumana de 2002

Answer 1

Si esto es asumido $(0,2\pi)$ (o cualquier múltiplo de este periodo):

Por simetría:

$$\int_0^{2\pi}\prod_1^{n}\cos^k kx\,dx=2\int_0^{\pi}\prod_1^{n}\cos^k kx\,dx$$

Ahora dejemos que $x\to \dfrac{\pi}{2}-x$ y denotar la integral así:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}}f(x)\,dx$$

Siempre que $k$ es impar la transformación da $\cos^k kx\to \pm\sin^k kx$ y $\cos^k kx\to \pm\cos^k kx$ de lo contrario. Por lo tanto, $f$ es impar si hay un número impar de senos en el producto resultante es decir si hay una cantidad impar de números Impares entre $1$ y $n$ .

Dado que hay exactamente $1001$ impar $k$ tal que $1\leq k\leq 2002$ , el integrando es impar y por lo tanto:

$$\int_0^{2\pi}\prod_1^{2002}\cos^k kx\,dx=0$$

Answer 2

Supongamos que la integral es de $0$ a $2\pi$ . Entonces $$ \cos \left(m(\frac{\pi}{2}-z)\right)=(-1)^m \cos \left( m(\frac{\pi}{2}+z)\right) $$ por lo que, si el integrando es $f(x)$ , $$ f(\frac{\pi}{2}-x)=(-1)^N f(\frac{\pi}{2}+x), $$ donde $$ N=1^2+2^2+\cdots+2002^2=2676679005 $$ es impar, así que $$ f(\frac{\pi}{2}-x)=- f(\frac{\pi}{2}+x). $$ Entonces la parte de la integral de $\pi/2$ a $\pi$ anula la parte de $0$ a $\pi/2$ . Además, la parte de la integral de $\pi$ a $3\pi/2$ es igual a $-\int_{-\pi/2}^0 f(x) \, dx$ que, como $f$ tiene periodo $2\pi$ , es igual a $-\int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x) \, dx$ . Por lo tanto, la integral sobre $[0,2\pi]$ es $0$ .