¿Qué "son" los Hom-spaces iterados?

Question

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales sobre algún campo $F$ . Entonces $\textrm{Hom}(V, W)$ es el conjunto de homomorfismos entre ellos, que a su vez forma un espacio vectorial.

Esta definición me parece lo suficientemente clara, y tengo cierta intuición de lo que "son" los homomorfismos de espacios vectoriales, pero siempre me confunde cuando aparecen espacios "iterados-Hom"; es decir, espacios parecidos a $\textrm{Hom}(\textrm{Hom}(V, W), U)$ . Por supuesto, esto es "sólo" el conjunto de homomorfismos de un espacio a otro, pero esta forma particular parece aparecer con suficiente frecuencia que debe tener algún "significado" agradable.

Por ejemplo, la segunda derivada $D^2 f$ de un mapa de valor real $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ puede considerarse como un mapa de $\mathbb{R}^n$ a $\textrm{Hom}({\mathbb{R}^n, \textrm{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R^m})})$ . (Este último espacio es isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2 m}$ pero eso no parece significativo, ni siquiera útil cuando los espacios vectoriales no son de dimensión finita). Las derivadas de orden superior tienen interpretaciones análogas.

¿Cómo debo pensar intuitivamente en estos espacios?

Answer 1

Creo que lo principal que hay que saber es que, para cualquier anillo conmutativo $R$ , a,d cualquier $R$ -módulos $M, N, P$ hay isomorfismos: $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$ $$\Hom_R(M\otimes_R N,P)\simeq \Hom_R\bigl(M,\Hom_R(N,P)\bigr)$$ y $$\Hom_R(M\otimes_R N,P)\simeq \mathscr L^2_R (M,N;P)$$ (el conjunto de $R$ -mapas bilineales de $M\times N$ a $P$ ). Como sabes, con tus anotaciones, la segunda diferencial es un mapa bilineal de $\mathbf R^n\times\mathbf R^n\to\mathbf R^m$ .